Resolva o sistema usando regra de Cramer (usando determinantes)
Exemplo: Resolva: \left\{\begin{array}{l}2 x+y=4 \\\ x+2 y=-1\end{array}\right.
Solução: D=\left|\begin{array}{ll}2 & 1 \\\\ 1 & 2\end{array}\right|=2.2-1.1=3
D_{x}=\left|\begin{array}{cc}4 & 1 \\\\ -1 & 2 \end{array}\right|=4.2-1 .(-1)=9
D_{y}=2 .(-1)-4.1=-6
x=\frac{D_{x}}{D}=\frac{9}{3}=3, y=\frac{D_{y}}{D}=\frac{-6}{3}=-2
(b) \left\{\begin{array}{l}2 x-3 y=-1 \\\\ 4 x+7 y=-1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema (usar regra de Cramer):
\begin{cases} 2x-3y=-1\\[4pt] 4x+7y=-1 \end{cases}
Informações dadas (coeficientes e termos independentes):
a_{11}=2,\quad a_{12}=-3,\quad a_{21}=4,\quad a_{22}=7, \quad b_1=-1,\quad b_2=-1.
A pergunta é: encontrar x e y.]

Passo 2

Explicando a regra de Cramer para sistemas 2\times2\). Para o sistema \[\begin{cases} a_{11}x+a_{12}y=b_1\\[4pt] a_{21}x+a_{22}y=b_2 \end{cases}
define-se o determinante principal
D=\left|\begin{array}{cc}a_{11} & a_{12}\\[4pt] a_{21} & a_{22}\end{array}\right|=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}.
Depois constrói-se D_x\] substituindo a primeira coluna por \(\begin{pmatrix}b_1\\\ b_2\end{pmatrix}:
D_x=\left|\begin{array}{cc}b_{1} & a_{12}\\[4pt] b_{2} & a_{22}\end{array}\right|.
E D_y substituindo a segunda coluna por \begin{pmatrix}b_1\\\ b_2\end{pmatrix}:
D_y=\left|\begin{array}{cc}a_{11} & b_{1}\\[4pt] a_{21} & b_{2}\end{array}\right|.
Se D\neq0, a solução é
x=\frac{D_x}{D},\qquad y=\frac{D_y}{D}.
Observação: o determinante 2\times2 sempre se calcula como produto da diagonal principal menos produto da diagonal secundária; por exemplo \left|\begin{smallmatrix}p & q\\\ r & s\end{smallmatrix}\right|=ps-qr.]

Passo 3

Calcular o determinante principal D com os coeficientes do nosso sistema:
D=\left|\begin{array}{cc}2 & -3\\[4pt] 4 & 7\end{array}\right| =2\cdot 7 - (-3)\cdot 4.
Agora as contas, passo a passo:
2\cdot 7=14,\qquad (-3)\cdot 4=-12,
logo
D=14-(-12)=14+12=26.]

Passo 4

Calcular D_x substituindo a primeira coluna pelos termos independentes (-1,-1):
D_x=\left|\begin{array}{cc}-1 & -3\\[4pt] -1 & 7\end{array}\right| =(-1)\cdot 7 - (-3)\cdot (-1).
Computando cada produto:
(-1)\cdot 7=-7,\qquad (-3)\cdot(-1)=3,
portanto
D_x=-7-3=-10.]

Passo 5

Calcular D_y substituindo a segunda coluna pelos termos independentes (-1,-1):
D_y=\left|\begin{array}{cc}2 & -1\\[4pt] 4 & -1\end{array}\right| =2\cdot (-1) - (-1)\cdot 4.
Computando:
2\cdot(-1)=-2,\qquad (-1)\cdot 4=-4,
então
D_y=-2-(-4)=-2+4=2.]

Passo 6

Como D=26\neq0, aplicamos a regra de Cramer:
x=\frac{D_x}{D}=\frac{-10}{26},\qquad y=\frac{D_y}{D}=\frac{2}{26}.
Simplificando as frações dividindo numerador e denominador por 2:
x=\frac{-10}{26}=\frac{-5}{13},\qquad y=\frac{2}{26}=\frac{1}{13}.
Bom trabalho! Essas são frações simples; na prova mantenha a calma e faça as multiplicações e subtrações com passos claros como aqui.

Resposta

x=\dfrac{-5}{13}
y=\dfrac{1}{13}

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