Calcule os determinantes das matrizes abaixo utilizando o teorema de Laplace. M=\left[\begin{array}{llll}0 & a & b & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\ a & a & 0 & b \\\\ 1 & b & a & 0\end{array}\right]
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá.
Pede: calcular o determinante da matriz M usando o teorema de Laplace.
Matriz dada:
M=\begin{pmatrix} 0 & a & b & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\ a & a & 0 & b \\\\ 1 & b & a & 0 \end{pmatrix}.
Informação útil visível: a segunda linha de M é (0,\;1,\;0,\;0), ou seja, nessa linha só há um elemento não nulo (igual a 1). Isso facilita muito a expansão de Laplace.
Passo 2
Lembrete do teorema de Laplace (expansão por cofatores) e definições.
Para qualquer matriz quadrada A, o determinante pode ser obtido expandindo por uma linha i:
\det(A)=\sum_{j=1}^{n} a_{ij}\,C_{ij},
onde a_{ij} é o elemento da linha i e coluna j, e C_{ij} é o cofator definido por
C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}).
Aqui M_{ij} é a menor obtida eliminando a linha i e a coluna j de A.
Observação prática: convém expandir por uma linha ou coluna com muitos zeros, pois a soma fica com poucos termos.
Passo 3
Escolha da linha para expandir e aplicação direta.
Como a segunda linha de M é (0,\;1,\;0,\;0), vamos expandir o determinante de M pela linha 2.