Calcule os determinantes das matrizes abaixo utilizando o teorema de Laplace.
M=\left[\begin{array}{llll}0 & a & b & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\ a & a & 0 & b \\\\ 1 & b & a & 0\end{array}\right]

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá.
  • Pede: calcular o determinante da matriz M usando o teorema de Laplace.
  • Matriz dada:
M=\begin{pmatrix} 0 & a & b & 1 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\ a & a & 0 & b \\\\ 1 & b & a & 0 \end{pmatrix}.
  • Informação útil visível: a segunda linha de M é (0,\;1,\;0,\;0), ou seja, nessa linha só há um elemento não nulo (igual a 1). Isso facilita muito a expansão de Laplace.

Passo 2

Lembrete do teorema de Laplace (expansão por cofatores) e definições.
  • Para qualquer matriz quadrada A, o determinante pode ser obtido expandindo por uma linha i:
\det(A)=\sum_{j=1}^{n} a_{ij}\,C_{ij},
onde a_{ij} é o elemento da linha i e coluna j, e C_{ij} é o cofator definido por
C_{ij}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij}).
  • Aqui M_{ij} é a menor obtida eliminando a linha i e a coluna j de A.
  • Observação prática: convém expandir por uma linha ou coluna com muitos zeros, pois a soma fica com poucos termos.

Passo 3

Escolha da linha para expandir e aplicação direta.
  • Como a segunda linha de M é (0,\;1,\;0,\;0), vamos expandir o determinante de M pela linha 2.
  • Apenas o elemento a_{22}=1 contribui. Assim:
\det(M)=a_{22}\,C_{22}=1\cdot(-1)^{2+2}\det(M_{22}).
  • Como (-1)^{2+2}=1, temos simplesmente
\det(M)=\det(M_{22}),
onde M_{22} é a matriz 3\times3 obtida eliminando a linha 2 e a coluna 2 de M.

Passo 4

Escrever explicitamente a menor M_{22}.
  • Eliminando linha 2 e coluna 2 da matriz M, sobram as linhas 1,3,4 e as colunas 1,3,4. Assim:
M_{22}=\begin{pmatrix} 0 & b & 1 \\\ a & 0 & b \\\\ 1 & a & 0 \end{pmatrix}.
  • Portanto
\det(M)=\det\!\begin{pmatrix} 0 & b & 1 \\\ a & 0 & b \\\\ 1 & a & 0 \end{pmatrix}.

Passo 5

Calcular o determinante da 3\times3 por expansão (Laplace) pela primeira linha.
  • Expandindo pela primeira linha da matriz N:=M_{22}, que é (0,\;b,\;1), temos
\det(N)=0\cdot C_{11} + b\cdot C_{12} + 1\cdot C_{13}.
  • Vamos calcular os cofatores C_{12} e C_{13}.
Cálculo de C_{12}:
  • O menor associado a a_{12}=b é a matriz obtida removendo a linha 1 e a coluna 2:
\text{menor}_{12}=\begin{pmatrix} a & b \\\\ 1 & 0 \end{pmatrix}.
  • Seu determinante é \det(\text{menor}_{12}) = a\cdot 0 - b\cdot 1 = -b.
  • O cofator é
C_{12}=(-1)^{1+2}\det(\text{menor}_{12}) = -1\cdot(-b)=b.
  • Logo o termo correspondente é b\cdot C_{12}=b\cdot b=b^{2}.
Cálculo de C_{13}:
  • O menor associado a a_{13}=1 é a matriz obtida removendo a linha 1 e a coluna 3:
\text{menor}_{13}=\begin{pmatrix} a & 0 \\\\ 1 & a \end{pmatrix}.
  • Seu determinante é \det(\text{menor}_{13})=a\cdot a - 0\cdot 1 = a^{2}.
  • O cofator é
C_{13}=(-1)^{1+3}\det(\text{menor}_{13}) = (+1)\cdot a^{2}=a^{2}.
  • Como o elemento correspondente é 1, o termo é 1\cdot C_{13}=a^{2}.

Passo 6

Somar os termos e concluir.
  • Somando os contribuintes da expansão da primeira linha:
\det(N)=b^{2}+a^{2}.
  • Lembrando que \det(M)=\det(N), concluímos que
\det(M)=a^{2}+b^{2}.

Resposta

a^{2}+b^{2}

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