Considere que \alpha e \beta são os ângulos formados pelas diagonais de um retângulo. A medida do ângulo formado pelas bissetrizes de \alpha e \beta é
(A) 30^{\circ}.
(B) 90^{\circ}.
(C) 45^{\circ}.
(D) 75^{\circ}.
(E) 60^{\circ}.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
  • Informação 1: Existe um retângulo qualquer (lados possivelmente com comprimentos diferentes).
  • Informação 2: As duas diagonais desse retângulo se cruzam formando, num mesmo ponto, dois ângulos opostos iguais e os outros dois ângulos opostos iguais. Denotam-se por \alpha e \beta esses ângulos formados pelas diagonais.
  • Pergunta: Qual é a medida do ângulo formado pelas bissetrizes de \alpha e \beta?
Observação imediata (tirada do enunciado): os dois ângulos no ponto de interseção das diagonais satisfazem
\alpha+\beta=180^\circ,
pois são dois ângulos suplementares (um é agudo e o outro obtuso, ou ambos são retos no caso especial do quadrado).

Passo 2

Entender o que significa “bissetriz de um ângulo” e como encontrar a direção da bissetriz entre duas retas que se cruzam.
  • Definição prática: a bissetriz de um ângulo é a reta que divide o ângulo em duas partes iguais. Se duas retas determinam vetores \mathbf{a} e \mathbf{b} que saem do ponto de interseção, a direção da bissetriz interna pode ser obtida somando os vetores unitários na direção de \mathbf{a} e \mathbf{b}. Em fórmulas:
\text{direção da bissetriz interna} \propto \frac{\mathbf{a}}{\|\mathbf{a}\|}+\frac{\mathbf{b}}{\|\mathbf{b}\|}.çã
Isto ocorre porque a soma dos vetores unitários aponta exatamente para a direção que fica “no meio” entre \mathbf{a} e \mathbf{b}.
  • Fórmula complementar: a bissetriz do ângulo suplementar (a bissetriz externa entre as mesmas retas) tem direção proporcional a
\frac{\mathbf{a}}{\|\mathbf{a}\|}-\frac{\mathbf{b}}{\|\mathbf{b}\|}.
Em muitas configurações essas duas direções são ortogonais (dependendo de \mathbf{a},\mathbf{b}), e é isso que vamos verificar.

Passo 3

Modelar as diagonais do retângulo por vetores e aplicar a regra das bissetrizes.
  • Escolha de vetores (pegando a geometria do retângulo): suponha que o retângulo tem metade dos lados \tfrac{\ell}{2} e \tfrac{w}{2} em relação ao centro; as diagonais nas direções opostas podem ser representadas por vetores proporcionais a
\mathbf{v} = (\ell,w) \qquad\text{e}\qquad \mathbf{u} = (\ell,-w).
(Esses vetores apontam de um vértice ao vértice oposto; escolheu-se essa forma por simetria: uma diagonal sobe, a outra desce.)
  • Norma (magnitude) de ambos:
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{\ell^{2}+w^{2}}, \qquad \|\mathbf{u}\|=\sqrt{\ell^{2}+w^{2}}.
Como \|\mathbf{v}\|=\|\mathbf{u}\|, ao normalizar os vetores os denominadores coincidem.

Passo 4

Calcular explicitamente as direções das bissetrizes usando os vetores normalizados.
  • Direção da bissetriz interna entre \mathbf{v} e \mathbf{u}:
\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}+\frac{\mathbf{u}}{\|\mathbf{u}\|} = \frac{1}{\sqrt{\ell^{2}+w^{2}}}\bigl((\ell,w)+(\ell,-w)\bigr) = \frac{1}{\sqrt{\ell^{2}+w^{2}}}\,(2\ell,0).
Isto mostra que essa bissetriz é uma reta horizontal (direção do eixo x).
  • Direção da outra bissetriz (a bissetriz do ângulo suplementar):
\frac{\mathbf{v}}{\|\mathbf{v}\|}-\frac{\mathbf{u}}{\|\mathbf{u}\|} = \frac{1}{\sqrt{\ell^{2}+w^{2}}}\bigl((\ell,w)-(\ell,-w)\bigr) = \frac{1}{\sqrt{\ell^{2}+w^{2}}}\,(0,2w).
Isto mostra que essa bissetriz é uma reta vertical (direção do eixo y).

Passo 5

Concluir a medida do ângulo entre as duas bissetrizes.
  • Como uma bissetriz tem direção horizontal e a outra tem direção vertical, elas são perpendiculares.
  • Portanto o ângulo entre as bissetrizes é
90^\circ.
(Essa conclusão é independente dos comprimentos \ell e w; funciona para qualquer retângulo. No caso especial \ell=w (quadrado) as diagonais formam \alpha=\beta=90^\circ e as bissetrizes continuam sendo perpendiculares.)

Resposta

90^\circ

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