Considere que
e
são os ângulos formados pelas diagonais de um retângulo. A medida do ângulo formado pelas bissetrizes de
e
é
(A)
.
(B)
.
(C)
.
(D)
.
(E)
.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz a seguinte pergunta:
- Informação 1: Existe um retângulo qualquer (lados possivelmente com comprimentos diferentes).
- Informação 2: As duas diagonais desse retângulo se cruzam formando, num mesmo ponto, dois ângulos opostos iguais e os outros dois ângulos opostos iguais. Denotam-se por
e esses ângulos formados pelas diagonais. - Pergunta: Qual é a medida do ângulo formado pelas bissetrizes de
e ?
Observação imediata (tirada do enunciado): os dois ângulos no ponto de interseção das diagonais satisfazem
pois são dois ângulos suplementares (um é agudo e o outro obtuso, ou ambos são retos no caso especial do quadrado).
Passo 2
Entender o que significa “bissetriz de um ângulo” e como encontrar a direção da bissetriz entre duas retas que se cruzam.
- Definição prática: a bissetriz de um ângulo é a reta que divide o ângulo em duas partes iguais. Se duas retas determinam vetores
e que saem do ponto de interseção, a direção da bissetriz interna pode ser obtida somando os vetores unitários na direção de e . Em fórmulas:
Isto ocorre porque a soma dos vetores unitários aponta exatamente para a direção que fica “no meio” entre
e
.
- Fórmula complementar: a bissetriz do ângulo suplementar (a bissetriz externa entre as mesmas retas) tem direção proporcional a
Em muitas configurações essas duas direções são ortogonais (dependendo de
), e é isso que vamos verificar.
Passo 3
Modelar as diagonais do retângulo por vetores e aplicar a regra das bissetrizes.
- Escolha de vetores (pegando a geometria do retângulo): suponha que o retângulo tem metade dos lados
e em relação ao centro; as diagonais nas direções opostas podem ser representadas por vetores proporcionais a
(Esses vetores apontam de um vértice ao vértice oposto; escolheu-se essa forma por simetria: uma diagonal sobe, a outra desce.)
- Norma (magnitude) de ambos:
Como
, ao normalizar os vetores os denominadores coincidem.
Passo 4
Calcular explicitamente as direções das bissetrizes usando os vetores normalizados.
- Direção da bissetriz interna entre
e :
Isto mostra que essa bissetriz é uma reta horizontal (direção do eixo
).
- Direção da outra bissetriz (a bissetriz do ângulo suplementar):
Isto mostra que essa bissetriz é uma reta vertical (direção do eixo
).
Passo 5
Concluir a medida do ângulo entre as duas bissetrizes.
- Como uma bissetriz tem direção horizontal e a outra tem direção vertical, elas são perpendiculares.
- Portanto o ângulo entre as bissetrizes é
(Essa conclusão é independente dos comprimentos
e
; funciona para qualquer retângulo. No caso especial
(quadrado) as diagonais formam
e as bissetrizes continuam sendo perpendiculares.)