Calcule os determinantes das matrizes abaixo utilizando o teorema de Laplace.
M=\left[\begin{array}{rrrrr}1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\\ 0 & a & -1 & 3 & 1 \\\\ 0 & 0 & b & 2 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 & c & 2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & d\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
M=\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\\\ 0 & a & -1 & 3 & 1 \\\\ 0 & 0 & b & 2 & 3 \\\\ 0 & 0 & 0 & c & 2 \\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & d \end{pmatrix}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A primeira coluna de M é (1,0,0,0,0)^{\!\top}.
  • A matriz é triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são 0).
  • Os elementos da diagonal principal são 1,\;a,\;b,\;c,\;d.
    A tarefa é encontrar \det(M).

Passo 2

Vou usar o teorema de Laplace (expansão por cofatores). Lembrete do enunciado do teorema: para uma matriz n\times n qualquer, a expansão pela coluna j diz
\det(A)=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}\det\big(M_{ij}\big),
onde a_{ij} é o elemento na linha i, coluna j, e M_{ij} é a matriz obtida de A removendo a linha i e a coluna j. O fator (-1)^{i+j} é o sinal do cofator.

Passo 3

Como a primeira coluna de M tem apenas um elemento não nulo, a_{11}=1, a expansão de Laplace pela primeira coluna fica muito simples:
\det(M)=(-1)^{1+1}\cdot 1\cdot \det\big(M_{11}\big)=\det\big(M_{11}\big).
Aqui M_{11} é a submatriz obtida removendo a primeira linha e a primeira coluna de M:
M_{11}=\begin{pmatrix} a & -1 & 3 & 1 \\\\ 0 & b & 2 & 3 \\\\ 0 & 0 & c & 2 \\\\ 0 & 0 & 0 & d \end{pmatrix}.

Passo 4

Aplicando Laplace novamente em M_{11} pela sua primeira coluna (cuja entrada não nula de destaque é a na primeira linha), obtemos
\det\big(M_{11}\big)=(-1)^{1+1}\cdot a\cdot \det\big(M^{(2)}\big)=a\cdot \det\big(M^{(2)}\big),
onde
M^{(2)}=\begin{pmatrix} b & 2 & 3 \\\\ 0 & c & 2 \\\\ 0 & 0 & d \end{pmatrix}
é a submatriz 4\times4 removendo sua primeira linha e primeira coluna (ou seja, reduzimos para a parte triangular restante).

Passo 5

Repetindo o mesmo raciocínio em M^{(2)}: sua primeira coluna tem b seguido de zeros, então
\det\big(M^{(2)}\big)=(-1)^{1+1}\cdot b\cdot \det\big(M^{(3)}\big)=b\cdot \det\big(M^{(3)}\big),
com
M^{(3)}=\begin{pmatrix} c & 2 \\\\ 0 & d \end{pmatrix}.

Passo 6

Para M^{(3)} (uma 2\times2 triangular superior), podemos aplicar Laplace ou a fórmula direta do determinante de 2\times2. Pela expansão na primeira coluna:
\det\big(M^{(3)}\big)=(-1)^{1+1}\cdot c\cdot \det\big([d]\big)=c\cdot d.
Aqui \det\big([d]\big)=d é o determinante da matriz 1\times1.

Passo 7

Agora substituímos para trás:
\det\big(M^{(2)}\big)=b\cdot (c d)=b c d,
\det\big(M_{11}\big)=a\cdot (b c d)=a b c d,
\det(M)=\det\big(M_{11}\big)=a b c d.
Comentário final: esse cálculo via Laplace ilustra por que o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal — cada expansão pela primeira coluna (ou por qualquer coluna/linha com zeros estratégicos) “puxa” um elemento diagonal e reduz o tamanho do problema até chegar ao produto final.

Resposta

a b c d

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