A matriz é triangular superior (todos os elementos abaixo da diagonal principal são 0).
Os elementos da diagonal principal são 1,\;a,\;b,\;c,\;d.
A tarefa é encontrar \det(M).
Passo 2
Vou usar o teorema de Laplace (expansão por cofatores). Lembrete do enunciado do teorema: para uma matriz n\times n qualquer, a expansão pela coluna j diz
onde a_{ij} é o elemento na linha i, coluna j, e M_{ij} é a matriz obtida de A removendo a linha i e a coluna j. O fator (-1)^{i+j} é o sinal do cofator.
Passo 3
Como a primeira coluna de M tem apenas um elemento não nulo, a_{11}=1, a expansão de Laplace pela primeira coluna fica muito simples:
M^{(3)}=\begin{pmatrix} c & 2 \\\\ 0 & d \end{pmatrix}.
Passo 6
Para M^{(3)} (uma 2\times2 triangular superior), podemos aplicar Laplace ou a fórmula direta do determinante de 2\times2. Pela expansão na primeira coluna:
\det\big(M^{(3)}\big)=(-1)^{1+1}\cdot c\cdot \det\big([d]\big)=c\cdot d.
Aqui \det\big([d]\big)=d é o determinante da matriz 1\times1.
Passo 7
Agora substituímos para trás:
\det\big(M^{(2)}\big)=b\cdot (c d)=b c d,
\det\big(M_{11}\big)=a\cdot (b c d)=a b c d,
\det(M)=\det\big(M_{11}\big)=a b c d.
Comentário final: esse cálculo via Laplace ilustra por que o determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal — cada expansão pela primeira coluna (ou por qualquer coluna/linha com zeros estratégicos) “puxa” um elemento diagonal e reduz o tamanho do problema até chegar ao produto final.