Em um triângulo ABC , a medida de \hat{\mathrm{B}} é 70^{\circ}, e a medida de Ĉ é 10^{\circ}. Do vértice A partem a bissetriz de  e a altura relativa ao lado BC. O ângulo formado por essa bissetriz e essa altura mede
(A) 50^{\circ}.
(B) 40^{\circ}.
(C) 60^{\circ}.
(D) 30^{\circ}.
(E) 70^{\circ}.

Passo 1

O enunciado dá as medidas dos ângulos do triângulo ABC:
  • \hat{B}=70^\circ.
  • \hat{C}=10^\circ.
Do vértice A são traçadas duas retas:
  • a bissetriz de \hat{A} (divide o ângulo \hat{A} em duas partes iguais);
  • a altura relativa ao lado BC (reta por A perpendicular a BC).
O que se pede: determinar a medida do ângulo formado entre a bissetriz de \hat{A} e a altura traçada a partir de A.

Passo 2

Calcular a medida do ângulo em A usando a soma dos ângulos internos do triângulo. A soma é \,180^\circ, logo
\hat{A}=180^\circ-\hat{B}-\hat{C}=180^\circ-70^\circ-10^\circ=100^\circ.

Passo 3

Entender a bissetriz: a bissetriz de \hat{A} divide \hat{A} em duas partes iguais. Assim cada metade vale
\frac{\hat{A}}{2}=\frac{100^\circ}{2}=50^\circ.
Ou seja, a bissetriz forma \,50^\circ com o lado AB e também \,50^\circ com o lado AC.

Passo 4

Entender a altura: a altura por A é uma reta por A perpendicular a BC. Vamos calcular os ângulos que essa altura faz com AB e com AC.
A razão: o ângulo entre AB e BC é \hat{B}=70^\circ. Uma reta perpendicular a BC forma com AB um ângulo que difere de \hat{B} em 90^\circ; portanto o ângulo entre a altura e AB é
|90^\circ-\hat{B}|=|90^\circ-70^\circ|=20^\circ.
Analogamente, como o ângulo entre AC e BC é \hat{C}=10^\circ, o ângulo entre a altura e AC é
|90^\circ-\hat{C}|=|90^\circ-10^\circ|=80^\circ.
Confirmação rápida: 20^\circ+80^\circ=100^\circ=\hat{A}, consistente com a geometria.

Passo 5

Calcular o ângulo entre a bissetriz e a altura. É suficiente tomar a diferença entre os ângulos que cada uma faz com a mesma reta de referência (por exemplo, com AB).
  • A bissetriz faz 50^\circ com AB.
  • A altura faz 20^\circ com AB.
Logo o ângulo entre bissetriz e altura é
|50^\circ-20^\circ|=30^\circ.
(Verificação alternativa: usando AC como referência dá |80^\circ-50^\circ|=30^\circ, mesmo resultado.)

Resposta

30^\circ

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