Calcule os determinantes das matrizes abaixo utilizando o teorema de Laplace.
M=\left|\begin{array}{llll}1 & 3 & 2 & 0 \\\\ 3 & 1 & 0 & 2 \\\\ 2 & 3 & 0 & 1 \\\\ 0 & 2 & 1 & 3\end{array}\right|

Passo 1

O enunciado pede que calculemos o determinante da matriz M
M=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 & 0\\[4pt] 3 & 1 & 0 & 2\\[4pt] 2 & 3 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 2 & 1 & 3 \end{pmatrix},
utilizando o teorema de Laplace (expansão por cofatores). Informação relevante dada: a matriz é 4\times4 e o objetivo é \det(M). Não há outras informações externas.]

Passo 2

Explicando o teorema de Laplace (de forma didática e direta): para uma matriz n\times n, a expansão por cofatores ao longo de uma coluna fixa j vale
\det(A)=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+j}\,a_{ij}\,\det(A_{ij}),
onde a_{ij} é o elemento na linha i e coluna j e A_{ij} é a matriz obtida de A retirando a linha i e a coluna j. O fator (-1)^{i+j} é o coeficiente de sinal do cofator.
Estratégia prática: convém escolher uma coluna (ou linha) com muitos zeros para reduzir cálculos. Observando M, a terceira coluna é
\text{col}_3=(2,0,0,1)^{T},
ou seja, tem dois zeros (nas linhas 2 e 3); portanto vamos expandir ao longo da coluna 3.

Passo 3

Aplicando a fórmula de Laplace na coluna 3:
\det(M)=\sum_{i=1}^{4}(-1)^{i+3}m_{i3}\det(M_{i3}).
Os elementos m_{i3} são, linha a linha, \;m_{13}=2,\;m_{23}=0,\;m_{33}=0,\;m_{43}=1. Como m_{23}=m_{33}=0, sobram apenas os termos i=1 e i=4. Calculando os sinais:
(-1)^{1+3}=(-1)^{4}=+1,\qquad (-1)^{4+3}=(-1)^{7}=-1.
Logo
\det(M)=2\det(M_{13})-1\det(M_{43})=2\det(M_{13})-\det(M_{43}).

Passo 4

Vamos construir o menor M_{13}, que é a matriz 3\times3 obtida eliminando a linha 1 e a coluna 3 de M. Retirando linha 1 e coluna 3 obtemos
M_{13}=\begin{pmatrix} 3 & 1 & 2\\[4pt] 2 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 2 & 3 \end{pmatrix}.
Para calcular o determinante de uma 3\times3
\det\begin{pmatrix}a&b&c\\[4pt]d&e&f\\[4pt]g&h&i\end{pmatrix} = a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg).
Aqui identificando a=3,\;b=1,\;c=2,\;d=2,\;e=3,\;f=1,\;g=0,\;h=2,\;i=3, calculemos as partes:
ei-fh = 3\cdot3 - 1\cdot2 = 9-2 = 7,
di-fg = 2\cdot3 - 1\cdot0 = 6-0 = 6,
dh-eg = 2\cdot2 - 3\cdot0 = 4-0 = 4.
Agora substituindo:
\det(M_{13}) = 3\cdot7 - 1\cdot6 + 2\cdot4 = 21 - 6 + 8 = 23.]

Passo 5

Agora construímos o menor M_{43}, eliminando a linha 4 e a coluna 3 de M. Isso dá
M_{43}=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 0\\[4pt] 3 & 1 & 2\\[4pt] 2 & 3 & 1 \end{pmatrix}.
Usando a mesma fórmula para 3\times3, identificando a=1,\;b=3,\;c=0,\;d=3,\;e=1,\;f=2,\;g=2,\;h=3,\;i=1, calculamos:
ei-fh = 1\cdot1 - 2\cdot3 = 1-6 = -5,
di-fg = 3\cdot1 - 2\cdot2 = 3-4 = -1,
dh-eg = 3\cdot3 - 1\cdot2 = 9-2 = 7.
Substituindo:
\det(M_{43}) = 1\cdot(-5) - 3\cdot(-1) + 0\cdot7 = -5 + 3 + 0 = -2.]

Passo 6

Voltemos à expressão obtida no Passo 3:
\det(M)=2\det(M_{13})-\det(M_{43}).
Substituindo os valores calculados \det(M_{13})=23 e \det(M_{43})=-2:
\det(M)=2\cdot 23 - (-2) = 46 + 2 = 48.
Pronto — alguma vez já te disse que escolher a coluna com zeros é como fazer mágica na prova? Funciona.

Resposta

\det(M)=48

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