Considere os seguintes subconjuntos de
:
a) Para cada um dos conjuntos
e
acima, encontre (se existirem em
), as cotas superiores, cotas inferiores, supremo, ínfimo, máximo e mínimo.
b) Encontre (se existirem em
), os seguintes números reais:
e
.
b) Encontre (se existirem em
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dados (pegos do enunciado):
-
. -
. -
(conjunto dos números irracionais).
-
- Perguntas:
- (a) Para cada conjunto
: encontre (se existirem em ) as cotas superiores, as cotas inferiores, o supremo, o ínfimo, o máximo e o mínimo. - (b) Encontre (se existirem em
): , , , e .
- (a) Para cada conjunto
A partir daqui vou resolver passo a passo, explicando os conceitos necessários quando aparecerem.
Passo 2
Definições rápidas (úteis para a prova) — explicadas com calma:
- Uma cota superior de um conjunto
é qualquer número tal que para todo . O conjunto das cotas superiores pode ser descrito como . - Uma cota inferior de
é qualquer tal que para todo . - O supremo
é a menor das cotas superiores (se existir em ). - O ínfimo
é a maior das cotas inferiores (se existir em ). - O máximo
é um elemento tal que para todo (se existir). Quando existe, . - O mínimo
é um elemento tal que para todo (se existir). Quando existe, .
Obs.: Se o conjunto não for limitado superiormente (isto é, não existe
que funcione como cota superior), então não existe
em
(poderíamos dizer
na reta estendida, mas o enunciado pede existência em
).
Passo 3
Resolver a forma explícita do conjunto
.
Começo resolvendo a desigualdade
. Vou separar em casos porque
muda conforme o sinal de
.
-
Caso
: então . A desigualdade vira Subtraindodos dois lados: portantoo que implica . Assim, todo satisfaz a desigualdade; o ponto não satisfaz (porque dá , falso). -
Caso
: então . A desigualdade fica Somandoaos dois lados (ou rearranjando): Multiplicando por(o que inverte o sinal da desigualdade) obtemos que é verdadeiro para todo. Portanto todo também satisfaz a desigualdade.
Conclusão combinada: a desigualdade é satisfeita para todo
, e não é satisfeita para
. Logo
Passo 4
Analisar propriedades de
.
- Observação sobre limites:
contém números arbitrariamente grandes positivos e arbitrariamente grandes negativos (por exemplo para todo ), então não é limitado superiormente nem limitado inferiormente. - Portanto:
- Não existem cotas superiores em
(isto é, não existe tal que para todo ). - Não existem cotas inferiores em
. -
não existe em . -
não existe em . - Não existe
(não há maior elemento finito). - Não existe
.
- Não existem cotas superiores em
(Dica: é importante, para a prova, conectar “não ter cota superior” com “existem elementos arbitrariamente grandes”.)
Passo 5
Analisar
.
-
é um intervalo fechado e limitado. - Conjuntos de cotas superiores: qualquer
com é cota superior de . Em notação: conjunto das cotas superiores é . - Conjuntos de cotas inferiores: qualquer
com é cota inferior de , isto é . - O supremo é o menor das cotas superiores, logo
- O ínfimo é o maior das cotas inferiores, logo
- Como
e , tem máximo e mínimo:
Passo 6
Analisar
(irracionais).
- O conjunto
é denso e não limitado: existem irracionais tão grandes (positivos) quanto se queira e tão pequenos (negativos) quanto se queira. Ex.: (quando grande) e . - Portanto:
- Não existem cotas superiores em
. - Não existem cotas inferiores em
. -
não existe em . -
não existe em . - Não existe
. - Não existe
.
- Não existem cotas superiores em
(Observação pedagógica: embora entre quaisquer dois reais haja um irracional, isso não cria máximo nem mínimo nem limites finitos.)
Passo 7
Parte (b) — calcular interseções pedidas.
Primeiro
.
- Já temos
e . - Logo
- Agora
: o menor elemento do conjunto é (pois e não há elemento menor em ), então -
: o maior elemento é (pois ), então
Agora
.
-
. - Note que
é racional, logo . Assim remover antes ou depois não altera: explicitamente ou seja, os números irracionais no intervalo . - Sobre ínfimo e supremo:
- Existem irracionais arbitrariamente próximos de
pela direita (por exemplo para grande, ajustando), portanto o menor limite inferior é . Como é racional, , então não há mínimo, mas - Analogamente, existem irracionais arbitrariamente próximos de
pela esquerda, e é racional, então mas (logo não há máximo).
- Existem irracionais arbitrariamente próximos de
-
não existe (porque e não há menor irracional em ).
Passo 8
Resumo final: vou listar de forma direta as respostas pedidas, sem justificativas (as justificativas estão nos passos anteriores).
Resposta
A: cotas superiores = não existem em
; cotas inferiores = não existem em
;
= não existe em
;
= não existe em
;
= não existe;
= não existe.
B: cotas superiores =
; cotas inferiores =
;
;
;
;
.
C: cotas superiores = não existem em
; cotas inferiores = não existem em
;
= não existe em
;
= não existe em
;
= não existe;
= não existe.