Considere os seguintes subconjuntos de \mathbb{R} :
A=\left\{x \in \mathbb{R} ;|x|>\frac{x}{2}\right\} \quad B=[-3,4] \quad C=\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}
a) Para cada um dos conjuntos A, B e C acima, encontre (se existirem em \mathbb{R} ), as cotas superiores, cotas inferiores, supremo, ínfimo, máximo e mínimo.
b) Encontre (se existirem em \mathbb{R} ), os seguintes números reais: \min (A \cap B), \max (A \cap B), \inf (A \cap B \cap C), \sup (A \cap B \cap C) e \min (A \cap B \cap C).

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados (pegos do enunciado):
    • A=\{x\in\mathbb{R};\;|x|>\tfrac{x}{2}\}.
    • B=[-3,4].
    • C=\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} (conjunto dos números irracionais).
  • Perguntas:
    • (a) Para cada conjunto A,B,C: encontre (se existirem em \mathbb{R}) as cotas superiores, as cotas inferiores, o supremo, o ínfimo, o máximo e o mínimo.
    • (b) Encontre (se existirem em \mathbb{R}): \min(A\cap B), \max(A\cap B), \inf(A\cap B\cap C), \sup(A\cap B\cap C) e \min(A\cap B\cap C).
A partir daqui vou resolver passo a passo, explicando os conceitos necessários quando aparecerem.

Passo 2

Definições rápidas (úteis para a prova) — explicadas com calma:
  • Uma cota superior de um conjunto S\subset\mathbb{R} é qualquer número M\in\mathbb{R} tal que x\le M para todo x\in S. O conjunto das cotas superiores pode ser descrito como \{M\in\mathbb{R}: x\le M\\ \forall x\in S\}.
  • Uma cota inferior de S é qualquer m\in\mathbb{R} tal que m\le x para todo x\in S.
  • O supremo \sup S é a menor das cotas superiores (se existir em \mathbb{R}).
  • O ínfimo \inf S é a maior das cotas inferiores (se existir em \mathbb{R}).
  • O máximo \max S é um elemento x_0\in S tal que x_0\ge x para todo x\in S (se existir). Quando existe, \max S=\sup S.
  • O mínimo \min S é um elemento y_0\in S tal que y_0\le y para todo y\in S (se existir). Quando existe, \min S=\inf S.
Obs.: Se o conjunto não for limitado superiormente (isto é, não existe M que funcione como cota superior), então não existe \sup S em \mathbb{R} (poderíamos dizer \sup S=+\infty na reta estendida, mas o enunciado pede existência em \mathbb{R}).

Passo 3

Resolver a forma explícita do conjunto A.
Começo resolvendo a desigualdade |x|>\tfrac{x}{2}. Vou separar em casos porque |x| muda conforme o sinal de x.
  • Caso x\ge 0: então |x|=x. A desigualdade vira
    x>\frac{x}{2}.
    Subtraindo \tfrac{x}{2} dos dois lados:
    x-\frac{x}{2}=\frac{x}{2}>0,
    portanto \frac{x}{2}>0 o que implica x>0. Assim, todo x>0 satisfaz a desigualdade; o ponto x=0 não satisfaz (porque dá 0>0, falso).
  • Caso x<0: então |x|=-x. A desigualdade fica
    -x>\frac{x}{2}.
    Somando -\frac{x}{2} aos dois lados (ou rearranjando):
    -x-\frac{x}{2}=-\frac{3x}{2}>0.
    Multiplicando por -1 (o que inverte o sinal da desigualdade) obtemos
    \frac{3x}{2}<0,
    que é verdadeiro para todo x<0. Portanto todo x<0 também satisfaz a desigualdade.
Conclusão combinada: a desigualdade é satisfeita para todo x\neq 0, e não é satisfeita para x=0. Logo
A=\mathbb{R}\setminus\{0\}.

Passo 4

Analisar propriedades de A=\mathbb{R}\setminus\{0\}.
  • Observação sobre limites: A contém números arbitrariamente grandes positivos e arbitrariamente grandes negativos (por exemplo n\in A para todo n\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}), então A não é limitado superiormente nem limitado inferiormente.
  • Portanto:
    • Não existem cotas superiores em \mathbb{R} (isto é, não existe M\in\mathbb{R} tal que x\le M para todo x\in A).
    • Não existem cotas inferiores em \mathbb{R}.
    • \sup A não existe em \mathbb{R}.
    • \inf A não existe em \mathbb{R}.
    • Não existe \max A (não há maior elemento finito).
    • Não existe \min A.
(Dica: é importante, para a prova, conectar “não ter cota superior” com “existem elementos arbitrariamente grandes”.)

Passo 5

Analisar B=[-3,4].
  • B é um intervalo fechado e limitado.
  • Conjuntos de cotas superiores: qualquer M\in\mathbb{R} com M\ge 4 é cota superior de B. Em notação: conjunto das cotas superiores é \{M\in\mathbb{R}:\;M\ge 4\}.
  • Conjuntos de cotas inferiores: qualquer m\in\mathbb{R} com m\le -3 é cota inferior de B, isto é \{m\in\mathbb{R}:\;m\le -3\}.
  • O supremo é o menor das cotas superiores, logo \sup B = 4.
  • O ínfimo é o maior das cotas inferiores, logo \inf B = -3.
  • Como 4\in B e -3\in B, B tem máximo e mínimo: \max B = 4,\qquad \min B = -3.

Passo 6

Analisar C=\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q} (irracionais).
  • O conjunto C é denso e não limitado: existem irracionais tão grandes (positivos) quanto se queira e tão pequenos (negativos) quanto se queira. Ex.: \sqrt{n} (quando n grande) e -\sqrt{n}.
  • Portanto:
    • Não existem cotas superiores em \mathbb{R}.
    • Não existem cotas inferiores em \mathbb{R}.
    • \sup C não existe em \mathbb{R}.
    • \inf C não existe em \mathbb{R}.
    • Não existe \max C.
    • Não existe \min C.
(Observação pedagógica: embora entre quaisquer dois reais haja um irracional, isso não cria máximo nem mínimo nem limites finitos.)

Passo 7

Parte (b) — calcular interseções pedidas.
Primeiro A\cap B.
  • Já temos A=\mathbb{R}\setminus\{0\} e B=[-3,4].
  • Logo A\cap B = [-3,4]\setminus\{0\} = [-3,0)\cup(0,4].
  • Agora \min(A\cap B): o menor elemento do conjunto é -3 (pois -3\in A\cap B e não há elemento menor em A\cap B), então \min(A\cap B) = -3.
  • \max(A\cap B): o maior elemento é 4 (pois 4\in A\cap B), então \max(A\cap B) = 4.
Agora A\cap B\cap C.
  • A\cap B\cap C = ([-3,4]\setminus\{0\})\cap C.
  • Note que 0 é racional, logo 0\notin C. Assim remover \{0\} antes ou depois não altera: explicitamente A\cap B\cap C = \{x\in\mathbb{R}:\;-3\le x\le 4\\ \text{e}\\ x\notin\mathbb{Q}\},ou seja, os números irracionais no intervalo [-3,4].
  • Sobre ínfimo e supremo:
    • Existem irracionais arbitrariamente próximos de -3 pela direita (por exemplo -3+\tfrac{\sqrt{2}}{n} para n grande, ajustando), portanto o menor limite inferior é -3. Como -3 é racional, -3\notin A\cap B\cap C, então não há mínimo, mas \inf(A\cap B\cap C) = -3.
    • Analogamente, existem irracionais arbitrariamente próximos de 4 pela esquerda, e 4 é racional, então \sup(A\cap B\cap C) = 4,mas 4\notin A\cap B\cap C (logo não há máximo).
  • \min(A\cap B\cap C) não existe (porque -3\notin C e não há menor irracional em [-3,4]).

Passo 8

Resumo final: vou listar de forma direta as respostas pedidas, sem justificativas (as justificativas estão nos passos anteriores).

Resposta

A: cotas superiores = não existem em \mathbb{R}; cotas inferiores = não existem em \mathbb{R}; \sup A = não existe em \mathbb{R}; \inf A = não existe em \mathbb{R}; \max A = não existe; \min A = não existe.
B: cotas superiores = \{M\in\mathbb{R}:\;M\ge 4\}; cotas inferiores = \{m\in\mathbb{R}:\;m\le -3\}; \sup B = 4; \inf B = -3; \max B = 4; \min B = -3.
C: cotas superiores = não existem em \mathbb{R}; cotas inferiores = não existem em \mathbb{R}; \sup C = não existe em \mathbb{R}; \inf C = não existe em \mathbb{R}; \max C = não existe; \min C = não existe.
\min(A\cap B) = -3
\max(A\cap B) = 4
\inf(A\cap B\cap C) = -3
\sup(A\cap B\cap C) = 4
\min(A\cap B\cap C) = não existe

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