Calcule os determinantes das matrizes: \left(\begin{array}{ccc}0 & a & 0 \\\ b & c & d \\\\ 0 & e & 0\end{array}\right);
Passo 1
O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
A=\begin{pmatrix}0 & a & 0 \\[4pt] b & c & d \\[4pt] 0 & e & 0\end{pmatrix},
onde a,b,c,d,e são escalares quaisquer.
Informações relevantes fornecidas:
A matriz é 3\times3.
Muitos elementos são zero: entradas (1,1),(1,3),(3,1),(3,3) valem 0.
A pergunta é única: encontrar \det(A).]
Passo 2
Estratégia de resolução (escolhida por ser a mais direta): usar a expansão por cofatores (regra de Laplace) ao longo da primeira linha, porque nessa linha só há um elemento possivelmente não nulo (a na posição (1,2)). Vou explicar a regra antes de aplicar:
As colunas \text{col}_1 e \text{col}_3 são múltiplos uma da outra (ambas são escalares vezes o vetor \begin{pmatrix}0\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix}), logo as colunas são linearmente dependentes. Um fato básico sobre determinantes é: se as colunas (ou linhas) de uma matriz são linearmente dependentes, o determinante é zero. Isso confirma o resultado encontrado pela expansão por cofatores.]