Calcule os determinantes das matrizes:
\left(\begin{array}{ccc}0 & a & 0 \\\ b & c & d \\\\ 0 & e & 0\end{array}\right);

Passo 1

O enunciado pede para calcular o determinante da matriz
A=\begin{pmatrix}0 & a & 0 \\[4pt] b & c & d \\[4pt] 0 & e & 0\end{pmatrix},
onde a,b,c,d,e são escalares quaisquer.
Informações relevantes fornecidas:
  • A matriz é 3\times3.
  • Muitos elementos são zero: entradas (1,1),(1,3),(3,1),(3,3) valem 0.
  • A pergunta é única: encontrar \det(A).]

Passo 2

Estratégia de resolução (escolhida por ser a mais direta): usar a expansão por cofatores (regra de Laplace) ao longo da primeira linha, porque nessa linha só há um elemento possivelmente não nulo ( a na posição (1,2)). Vou explicar a regra antes de aplicar:
  • A regra de Laplace ao longo da linha i diz que
\det(A)=\sum_{j=1}^{3}(-1)^{i+j}a_{ij}\det(M_{ij}),
onde a_{ij} é o elemento da matriz na linha i, coluna j, e M_{ij} é a submatriz obtida eliminando a linha i e a coluna j.
  • Aqui vou usar essa fórmula com i=1 (primeira linha). Como a_{11}=0 e a_{13}=0, só preciso calcular o termo com a_{12}=a.

Passo 3

Aplicando a expansão por cofatores na primeira linha:
\det(A)=(-1)^{1+1}a_{11}\det(M_{11})+(-1)^{1+2}a_{12}\det(M_{12})+(-1)^{1+3}a_{13}\det(M_{13}).
Como a_{11}=0 e a_{13}=0, restam apenas os termos com a_{12}=a. Portanto
\det(A)=(-1)^{3}\,a\,\det(M_{12})=-a\det(M_{12}).
Agora obtenho explicitamente a submatriz M_{12} (elimina-se a linha 1 e a coluna 2), ficando
M_{12}=\begin{pmatrix}b & d \\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
O determinante dessa 2\times2 é
\det(M_{12})=b\cdot 0 - d\cdot 0.]

Passo 4

Avalio a expressão encontrada para \det(M_{12}). Calculando a diferença dos produtos:
\det(M_{12})=b\cdot 0 - d\cdot 0 = 0.
Substituindo na expressão obtida para \det(A) temos
\det(A)=-a\cdot 0.

Passo 5

Interpretação alternativa (ajuda didática): observe as colunas de A:
\text{col}_1=\begin{pmatrix}0\\[2pt] b\\[2pt] 0\end{pmatrix},\qquad \text{col}_2=\begin{pmatrix}a\\[2pt] c\\[2pt] e\end{pmatrix},\qquad \text{col}_3=\begin{pmatrix}0\\[2pt] d\\[2pt] 0\end{pmatrix}.
As colunas \text{col}_1 e \text{col}_3 são múltiplos uma da outra (ambas são escalares vezes o vetor \begin{pmatrix}0\\[2pt]1\\[2pt]0\end{pmatrix}), logo as colunas são linearmente dependentes. Um fato básico sobre determinantes é: se as colunas (ou linhas) de uma matriz são linearmente dependentes, o determinante é zero. Isso confirma o resultado encontrado pela expansão por cofatores.]

Resposta

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