Calcule os determinantes das matrizes:
\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ -1 & -1 & 0\end{array}\right);

Passo 1

O enunciado pede: calcular o determinante da matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 1 & -1 \\\\ -1 & 0 & 1 \\\\ -1 & -1 & 0\end{pmatrix}.
Dados relevantes (peguei-os do enunciado):
  • Elementos da matriz: a_{11}=1, a_{12}=1, a_{13}=-1, a_{21}=-1, a_{22}=0, a_{23}=1, a_{31}=-1, a_{32}=-1, a_{33}=0.
  • Objetivo: encontrar \det(A).

Passo 2

Vou usar a regra de Sarrus (método direto e prático para matrizes 3\times3). A regra diz que, para
A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\[4pt] a_{21} & a_{22} & a_{23}\\[4pt] a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix},
o determinante é
\det(A)=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} -\bigl(a_{13}a_{22}a_{31}+a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{21}a_{33}\bigr).
Cada termo são produtos de três entradas da matriz; os três primeiros são somados e os três últimos subtraídos. Agora calculo cada produto usando os a_{ij} listados no Passo 1.]

Passo 3

Calculo dos três termos positivos:
a_{11}a_{22}a_{33}=1\cdot0\cdot0=0,
a_{12}a_{23}a_{31}=1\cdot1\cdot(-1)=-1,
a_{13}a_{21}a_{32}=(-1)\cdot(-1)\cdot(-1)=-1.
Soma dos positivos:
0+(-1)+(-1)=-2.

Passo 4

Calculo dos três termos que serão subtraídos:
a_{13}a_{22}a_{31}=(-1)\cdot0\cdot(-1)=0,
a_{11}a_{23}a_{32}=1\cdot1\cdot(-1)=-1,
a_{12}a_{21}a_{33}=1\cdot(-1)\cdot0=0.
Soma desses termos:
0+(-1)+0=-1.

Passo 5

Agora aplico a fórmula da Sarrus:
\det(A)=(\text{soma dos positivos})-(\text{soma dos negativos}) = (-2)-(-1)=-1.

Passo 6

Verificação rápida por expansão de cofatores pela primeira linha (para treinar e confirmar): fórmula
\det(A)=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13},
com C_{1j}=(-1)^{1+j}M_{1j} e M_{1j} o menor correspondente.
Cálculos:
M_{11}=\det\begin{pmatrix}0&1\\\ -1&0\end{pmatrix}=0\cdot0-1\cdot(-1)=1,\quad C_{11}=+1,
M_{12}=\det\begin{pmatrix}-1&1\\\ -1&0\end{pmatrix}=(-1)\cdot0-1\cdot(-1)=1,\quad C_{12}=-1,
M_{13}=\det\begin{pmatrix}-1&0\\\ -1&-1\end{pmatrix}=(-1)\cdot(-1)-0\cdot(-1)=1,\quad C_{13}=+1.
Logo
\det(A)=1\cdot1+1\cdot(-1)+(-1)\cdot1=1-1-1=-1,
confirmação bem consistente com a Sarrus.

Resposta

\,-1

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