Calcule os determinantes das matrizes: \left(\begin{array}{cc}a & b \\\\ -b & a\end{array}\right);
Passo 1
O enunciado dá a matriz \displaystyle \begin{pmatrix}a & b \\\\ -b & a\end{pmatrix} e pede para calcular o determinante dessa matriz. As informações relevantes que temos:
Os elementos da matriz são a e b (não foi especificado se são reais ou complexos; a conta vale em qualquer corpo comutativo).
A única pergunta é: qual é o valor do determinante dessa matriz?
Passo 2
Vamos lembrar a fórmula do determinante para uma matriz \displaystyle 2\times 2. Seja a matriz genérica
\begin{pmatrix} p & q \\\ r & s \end{pmatrix}.
O determinante dessa matriz é dado por
\det\begin{pmatrix} p & q \\\ r & s \end{pmatrix} = p s - q r.
Explicando por que: uma forma direta de ver isso é usar a expansão de Laplace (ou definição via permutações). Pela expansão pela primeira linha, multiplica-se cada elemento pela determinante do menor complementar e alterna-se o sinal: fica p\cdot\det([s]) - q\cdot\det([r]). Como \det([s])=s e \det([r])=r (são matrizes 1\times1), obtemos ps-qr.
Passo 3
Aplique a fórmula ao caso concreto. Identificando os elementos:
p=a,\qquad q=b,\qquad r=-b,\qquad s=a.
Substituindo na fórmula ps-qr obtemos
\det\begin{pmatrix} a & b \\\\ -b & a \end{pmatrix} = a\cdot a - b\cdot(-b).
Comentário didático e empolgante: para a,b reais, isso mostra que o determinante é sempre não negativo e é zero somente quando a=b=0. Uma interpretação útil: a matriz corresponde à operação de multiplicar por a+ib no plano complexo, e o determinante é exatamente o quadrado do módulo, isto é |a+ib|^{2}=a^{2}+b^{2}.
Passo 5
Exemplo numérico rápido para fixar: se a=3 e b=4, então o determinante vale \;3^{2}+4^{2}=9+16=25. Isso confirma a fórmula na prática e ajuda a memorizar: soma de quadrados!