Calcule os determinantes das matrizes: \left(\begin{array}{cccc}a & b & c & d \\ -b & a & d & -c \\ -c & -d & a & b \\ -d & c & -b & a\end{array}\right).
Passo 1
O enunciado dá a matriz 4\times4
M=\begin{pmatrix} a & b & c & d \\\\ -b & a & d & -c \\\\ -c & -d & a & b \\\\ -d & c & -b & a \end{pmatrix}
e pede para calcular o determinante \det(M).
Informações relevantes que o enunciado fornece:
Os elementos da matriz são os números reais (ou símbolos) a, b, c e d.
A estrutura da matriz é simétrica em blocos especiais (veremos isso na resolução).
Passo 2
Vamos organizar a matriz em blocos 2\times2 para enxergá‑la melhor. Defina as matrizes 2\times2
Esta escrita em blocos facilita muito o cálculo do determinante.]
Passo 3
Explico a ideia do método (passo didático): considere a matriz complexa 2\times2
C=A+iB,
onde i é a unidade imaginária. Há uma relação padrão: a representação real da transformação complexa dada por C em \mathbb{C}^2 corresponde a uma matriz 4\times4 real cuja forma em blocos é precisamente \begin{pmatrix}A & B\\[4pt]-B & A\end{pmatrix} (ou uma variante com sinais trocados), e o determinante real dessa representação vale o produto do determinante complexo de C pelo de seu conjugado complexo \overline{C}=A-iB. Ou seja,
Portanto basta calcular \det\text{(C)} (um número complexo) e então tomar o produto com seu conjugado. Esta é uma ferramenta muito útil: reduzir um determinante 4\times4 real a determinantes 2\times2 complexos.]
Passo 4
Calculemos explicitamente C=A+iB. Usando A e B definidos acima,
C=\begin{pmatrix} a & b\\[4pt]-b & a \end{pmatrix} + i \begin{pmatrix} c & d\\[4pt]d & -c \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+i c & b+i d\\[4pt]-b+i d & a-i c \end{pmatrix}.]
Passo 5
Agora calculamos o determinante de C usando a fórmula do determinante de uma matriz 2\times2:
Portanto \det\text{(C)} é real e igual à soma dos quadrados dos coeficientes.
Passo 6
Como explicado no Passo 3, o determinante da matriz 4\times4 dada é o produto \det\text{(C)}\det(\overline{C}). Aqui \det\text{(C)} é real e igual a S:=a^2+b^2+c^2+d^2, e \det(\overline{C}) é o conjugado de \det\text{(C)}, portanto também igual a S. Logo