Calcule os determinantes das matrizes a seguir utilizando a Expansão de Laplace:
\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 1 \\\\ 3 & 1 & 4 \\\\ 0 & 2 & 5\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 \\[6pt] 3 & 1 & 4 \\[6pt] 0 & 2 & 5 \end{pmatrix}
e pede para calcular \det(A) usando a Expansão de Laplace.]

Passo 2

Como a primeira linha de A contém um zero, vamos expandir ao longo dela. A fórmula é
\det(A) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13},
onde C_{1j}=(-1)^{1+j}M_{1j} é o cofator e M_{1j} o menor correspondente.

Passo 3

Para j=1:
a_{11} = 2,\quad M_{11} = \det\begin{pmatrix}1 & 4 \\\\ 2 & 5\end{pmatrix} =1\cdot5 - 4\cdot2 = -3,
C_{11} = (-1)^{1+1}M_{11} = (+1)\cdot(-3) = -3,
portanto o termo é
a_{11}C_{11} = 2\cdot(-3) = -6.

Passo 4

Para j=2: a_{12}=0, então a_{12}C_{12}=0, e podemos ignorar esse termo.
Para j=3:
a_{13} = 1,\quad M_{13} = \det\begin{pmatrix}3 & 1 \\\\ 0 & 2\end{pmatrix} =3\cdot2 - 1\cdot0 = 6,
C_{13} = (-1)^{1+3}M_{13} = (+1)\cdot6 = 6,
então
a_{13}C_{13} = 1\cdot6 = 6.

Passo 5

Somando os termos da expansão:
\det(A) = (-6) + 0 + 6 = 0.

Resposta

\det(A)=0

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