(c) Calcule os determinantes de ordem 3 utilizando a Regra de Sarrus:
A=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\\\ 0 & -1 & 4 \\\\ 2 & 1 & 5 \end{array}\right] \quad B=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & -1 \\\\ 3 & 0 & 2 \\\\ 1 & 4 & 5 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede para calcular os determinantes de ordem 3 das matrizes A e B usando a Regra de Sarrus. As matrizes dadas são:
A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\\\ 0 & -1 & 4 \\\\ 2 & 1 & 5 \end{bmatrix}, \qquad B=\begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \\\\ 3 & 0 & 2 \\\\ 1 & 4 & 5 \end{bmatrix}.
Portanto as perguntas são:
  • Calcular \det(A) usando Sarrus.
  • Calcular \det(B) usando Sarrus.

Passo 2

O que é a Regra de Sarrus (explicação didática e fórmula).
  • A Regra de Sarrus é uma forma prática de calcular o determinante de uma matriz 3\times3. Ela só vale para matrizes 3\times3.
  • Se a matriz for
M=\begin{bmatrix} m_{11} & m_{12} & m_{13} \\\ m_{21} & m_{22} & m_{23} \\\ m_{31} & m_{32} & m_{33} \end{bmatrix},
então a Regra de Sarrus diz:
\det(M)= m_{11}m_{22}m_{33}+m_{12}m_{23}m_{31}+m_{13}m_{21}m_{32} -\bigl(m_{13}m_{22}m_{31}+m_{11}m_{23}m_{32}+m_{12}m_{21}m_{33}\bigr).
  • Interpretação: soma-se o produto das três diagonais que “descem para a direita” e subtrai-se a soma dos produtos das três diagonais que “sobem para a direita”.
  • Observação prática: algumas pessoas desenham as duas primeiras colunas à direita da matriz para visualizar as 6 diagonais; eu vou usar a forma algébrica acima (mais limpa em prova).

Passo 3

Aplicando Sarrus em A. Primeiro identifico os elementos:
m_{11}=1,\; m_{12}=2,\; m_{13}=3,
m_{21}=0,\; m_{22}=-1,\; m_{23}=4,
m_{31}=2,\; m_{32}=1,\; m_{33}=5.
Agora calculo as três parcelas positivas (as diagonais que descem para a direita):
m_{11}m_{22}m_{33}=1\cdot(-1)\cdot5=-5,
m_{12}m_{23}m_{31}=2\cdot4\cdot2=16,
m_{13}m_{21}m_{32}=3\cdot0\cdot1=0.
Somando essas três parcelas:
\text{Soma}_{+}=-5+16+0=11.
Agora as três parcelas negativas (as diagonais que sobem para a direita):
m_{13}m_{22}m_{31}=3\cdot(-1)\cdot2=-6,
m_{11}m_{23}m_{32}=1\cdot4\cdot1=4,
m_{12}m_{21}m_{33}=2\cdot0\cdot5=0.
Somando-as:
\text{Soma}_{-}=-6+4+0=-2.
Finalmente:
\det(A)=\text{Soma}_{+}-\text{Soma}_{-}=11-(-2)=11+2=13.

Passo 4

Aplicando Sarrus em B. Identifico os elementos:
m_{11}=2,\; m_{12}=1,\; m_{13}=-1,
m_{21}=3,\; m_{22}=0,\; m_{23}=2,
m_{31}=1,\; m_{32}=4,\; m_{33}=5.
Calculo as três parcelas positivas:
m_{11}m_{22}m_{33}=2\cdot0\cdot5=0,
m_{12}m_{23}m_{31}=1\cdot2\cdot1=2,
m_{13}m_{21}m_{32}=(-1)\cdot3\cdot4=-12.
Somando:
\text{Soma}_{+}=0+2+(-12)=-10.
Agora as três parcelas negativas:
m_{13}m_{22}m_{31}=(-1)\cdot0\cdot1=0,
m_{11}m_{23}m_{32}=2\cdot2\cdot4=16,
m_{12}m_{21}m_{33}=1\cdot3\cdot5=15.
Somando:
\text{Soma}_{-}=0+16+15=31.
Finalmente:
\det(B)=\text{Soma}_{+}-\text{Soma}_{-}=-10-31=-41.

Passo 5

Resumo rápido e dica para prova.
  • Resultado direto pelo uso da fórmula de Sarrus: foi só calcular os seis produtos e fazer a diferença.
  • Lembre-se: Sarrus funciona apenas para matrizes 3\times3. Para matrizes maiores, use eliminação de Gauss ou desenvolvimento por cofatores.
  • Força aí — prática com mais matrizes fica cada vez mais rápido!

Resposta

\det(A)=13
\det(B)=-41

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