P 4.1. Calcule os determinantes das seguintes matrizes:
[lll0 & 7 & 6 5 & 8 & 5 1 & 1 & 0], d[llll3 & 1 & 0 & 0 1 & 3 & 1 & 0 0 & 1 & 3 & 1 0 & 0 & 1 & 3]

Passo 1

O enunciado pede que a gente calcule o determinante de duas matrizes: uma de ordem 3
A = 0 & 7 & 6 5 & 8 & 5 1 & 1 & 0
e uma de ordem 4,
B = 3 & 1 & 0 & 0 1 & 3 & 1 & 0 0 & 1 & 3 & 1 0 & 0 & 1 & 3
O conteúdo é cálculo de determinante. Para A usamos expansão de Laplace (cofatores) e para B aproveitamos sua estrutura tridiagonal, que leva a uma recorrência no determinante.

Passo 2

Para A fazemos expansão pela primeira linha. Chamo de det A:
det A = a11C11 + a12C12 + a13C13,
onde C1j=(-1)^1+jdet M1j é o cofator. Como a11=0, só restam os termos com a12 e a13:
det A = -,7det5 & 51 & 0 ;+;6det5 & 81 & 1
Calculando os menores:
det5 & 51 & 0 =5cdot0 - 5cdot1 = -5, det5 & 81 & 1 =5cdot1 - 8cdot1 = -3
Logo
det A = -7,( -5 ) + 6,( -3 ) = 35 - 18 = 17

Passo 3

Para B note que é matriz tridiagonal com 3 na diagonal principal e 1 nas sub- e super-diagonais. Defina
dn = detl(matriz ntimes n desse tipor)
É conhecido (ou prova por expansão) que
d1 = 3, d2 = 3cdot3 - 1cdot1 = 8, dn = 3,dn-1 - dn-2(,n>=3,)
Assim
d3 = 3cdot8 - 3 = 21, d4 = 3cdot21 - 8 = 63 - 8 = 55
Como d4=det B, temos det B=55.

Resposta

det0 & 7 & 65 & 8 & 51 & 1 & 0 = 17
det3 & 1 & 0 & 01 & 3 & 1 & 00 & 1 & 3 & 10 & 0 & 1 & 3 = 55

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