Se
é uma transformação linear invertível, verifique que
também é linear.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é uma transformação linear que é bijetora (ou seja, invertível), então a inversa
também satisfaz as propriedades de linearidade. Vamos usar a definição de transformações lineares e as propriedades de uma função inversa.
Passo 2
Como
é invertível, existe
tal que
para todo
e todo
. Essas igualdades expressam que
e
.
Passo 3
Para verificar a linearidade de
, tomemos vetores arbitrários
e escalares
.
Como é sobrejetora, existem
tais que
Como
Pela linearidade de
, temos
Passo 4
Agora aplicamos
ao membro acima e usamos
:
Mas
e
, logo
Isso mostra exatamente que
preserva somas e multiplicação por escalar.