Se T: U V é uma transformação linear invertível, verifique que T^-1: V U também é linear.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se
T:Uto V
é uma transformação linear que é bijetora (ou seja, invertível), então a inversa
T^-1:Vto U
também satisfaz as propriedades de linearidade. Vamos usar a definição de transformações lineares e as propriedades de uma função inversa.

Passo 2

Como T é invertível, existe T^-1:Vto U tal que
T^-1l(T(u)r)=u e Tl(T^-1(v)r)=v
para todo uin U e todo vin V. Essas igualdades expressam que T^-1circ T=idU e Tcirc T^-1=idV.

Passo 3

Para verificar a linearidade de T^-1, tomemos vetores arbitrários v1,v2in V e escalares alpha,beta.
Como T é sobrejetora, existem u1,u2in U tais que
T(u1)=v1 e T(u2)=v2
Pela linearidade de T, temos
alpha v1 + beta v2 =alpha,T(u1)+beta,T(u2) = Tl(alpha u1 + beta u2r)

Passo 4

Agora aplicamos T^-1 ao membro acima e usamos T^-1circ T=idU:
T^-1l(alpha v1 + beta v2r) = T^-1l(Tl(alpha u1 + beta u2r)r) = alpha u1 + beta u2
Mas u1=T^-1(v1) e u2=T^-1(v2), logo
T^-1l(alpha v1 + beta v2r) = alpha,T^-1(v1) + beta,T^-1(v2)
Isso mostra exatamente que T^-1 preserva somas e multiplicação por escalar.

Resposta

T^-1:Vto U é linear.

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