P 4.1. Calcule os determinantes das seguintes matrizes:
Dlambda=[ccclambda-4 & 1 & 0 0 & lambda & 2 0 & 0 & lambda-1], onde no último caso lambda é um parâmetro real. Aproveite para deduzir quais os valores de lambda para os quais a matriz Dlambda é singular.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
Dlambda = lambda - 4 & 1 & 0 0 & lambda & 2 0 & 0 & lambda - 1
e pede (a) o determinante de Dlambda e (b) os valores de lambda para os quais Dlambda é singular. Aqui vamos usar a propriedade de matrizes triangulares.

Passo 2

Lembre que, para qualquer matriz quadrada triangular (superior ou inferior), o determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Isso decorre do desenvolvimento por linhas (ou colunas) repetidas vezes, já que todos os outros termos são nulos.

Passo 3

Aplicando essa propriedade a Dlambda, cujos elementos da diagonal principal são lambda - 4, lambda e lambda - 1, obtemos
det(Dlambda) = (lambda - 4),cdot lambda ,cdot (lambda - 1)

Passo 4

A matriz é singular exatamente quando seu determinante é zero. Logo, resolvemos
(lambda - 4),lambda,(lambda - 1) = 0
cuja solução é
lambda = 4, lambda = 0, lambda = 1

Resposta

Determinante:
det(Dlambda) = (lambda - 4),lambda,(lambda - 1)
Valores de lambda para os quais Dlambda é singular:
lambda in 0,,1,,4

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