Calcule a DFT de 4 pontos do sinal discreto \mathbf{x}[k]= \{1,0,2,3\} para k=0,1,2,3.

Passo 1

O enunciado pede a DFT de 4 pontos do sinal discreto \mathbf{x}[k]=\{1,0,2,3\} para k=0,1,2,3. O conteúdo aqui é Transformada Discreta de Fourier (DFT) definida para N=4, e vamos usar a fórmula que expressa cada coeficiente X[n] como soma ponderada pelos complexos e^{-j2\pi nk/N}.

Passo 2

A definição da DFT de N=4 pontos é
X[n] \;=\;\sum_{k=0}^{3} x[k]\,e^{-j\frac{2\pi}{4}nk} \quad,\quad n=0,1,2,3.

Passo 3

Para n=0:
X[0]=\sum_{k=0}^{3}x[k]\,e^{-j0} =1+0+2+3=6.

Passo 4

Para n=1:
X[1] =1+0\cdot e^{-j\frac{2\pi}{4}\cdot1} +2\,e^{-j\pi} +3\,e^{-j\frac{3\pi}{2}} =1+0+2(-1)+3j =-1+3j.

Passo 5

Para n=2:
X[2] =1+0+2\,e^{-j2\pi}+3\,e^{-j3\pi} =1+0+2(1)+3(-1) =0.

Passo 6

Para n=3:
X[3] =1+0+2\,e^{-j3\pi}+3\,e^{-j\frac{3\pi}{2}} =1+0+2(-1)+3(-j) =-1-3j.

Resposta

X[0]=6 X[1]=-1+3j X[2]=0 X[3]=-1-3j

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