Encontre o limite ou mostre que ele não existe.
\lim _{x \rightarrow-5} \frac{x+5}{|x+5|}.

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to -5} \frac{x+5}{|x+5|}.
Este é um limite de uma função com valor absoluto, então vamos usar limites laterais e a definição de |x+5| em duas situações (sinal de x+5).

Passo 2

Reescrevemos \frac{x+5}{|x+5|} em função do sinal de x+5. Sabemos que
|x+5| = \begin{cases} -(x+5), & \text{se }x+5<0,\\\ x+5, & \text{se }x+5\ge0, \end{cases}
portanto
\frac{x+5}{|x+5|} = \begin{cases} \displaystyle -1, & x<-5,\\[6pt] \displaystyle 1, & x>-5. \end{cases}]

Passo 3

Analisando o limite pela esquerda x\to -5^-: para x<-5 temos \frac{x+5}{|x+5|}=-1. Logo
\lim_{x\to -5^-}\frac{x+5}{|x+5|} = -1.

Passo 4

Analisando o limite pela direita x\to -5^+: para x>-5 temos \frac{x+5}{|x+5|}=1. Logo
\lim_{x\to -5^+}\frac{x+5}{|x+5|} = 1.

Passo 5

Os limites laterais não coincidem -1\neq1, portanto o limite em x\to -5 não existe.

Resposta

O limite não existe.

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