Calcule o diâmetro molecular do \mathrm{O}_{2} a partir da constante de Van der Waals b=0,0319 \mathrm{L} \mathrm{mol}^{-1} . \mathbf{R}=\mathbf{2 , 9 3} \times \mathbf{1 0}^{-\mathbf{1 0}} \mathbf{m}.

Passo 1

O enunciado dá o valor da constante de Van der Waals por mol para o oxigénio:
b = 0{,}0319\\ \mathrm{L\,mol^{-1}}.
A tarefa é calcular o diâmetro molecular do \mathrm{O}_2. Vou usar o número de Avogadro
N_A = 6{,}022\times10^{23}\\ \mathrm{mol^{-1}}
(se não te pediram outro valor, este é o usual). Também vou converter b para unidades SI (metros cúbicos por mol) antes de calcular.

Passo 2

Entendendo fisicamente o parâmetro b e a relação com o raio molecular.
  • Para moléculas tratadas como esferas rígidas de raio r (diâmetro d=2r), o volume de uma molécula é
v_{\text{mol}} = \frac{4}{3}\pi r^{3}.
  • Quando consideramos o volume “excluído” por colisões entre pares de esferas, o volume excluído por par é o volume de uma esfera de raio 2r, isto é \dfrac{4}{3}\pi (2r)^{3} = 8\cdot \dfrac{4}{3}\pi r^{3} = 8\,v_{\text{mol}}.
  • Ao somar o efeito de todos os pares em um conjunto de N moléculas, cada par fica contado duas vezes; isso dá, por molécula, um volume efetivo excluído igual a 4\,v_{\text{mol}}.
  • A constante de Van der Waals por mol b é justamente o total desse volume excluído por mol de moléculas:
b = 4\,N_A\,v_{\text{mol}}.
Substituindo v_{\text{mol}}=\dfrac{4}{3}\pi r^{3} obtemos a relação
b = 4 N_A \left(\frac{4}{3}\pi r^{3}\right) = \frac{16}{3}\pi N_A r^{3}.

Passo 3

Isolando r na expressão obtida:
r^{3} = \frac{3b}{16\pi N_A} \qquad\Rightarrow\qquad r = \left(\frac{3b}{16\pi N_A}\right)^{1/3}.
E o diâmetro molecular será
d = 2r = 2\left(\frac{3b}{16\pi N_A}\right)^{1/3}.

Passo 4

Converter b para SI:
b = 0{,}0319\\ \mathrm{L\,mol^{-1}} = 0{,}0319\times10^{-3}\\ \mathrm{m^{3}\,mol^{-1}} = 3{,}19\times10^{-5}\\ \mathrm{m^{3}\,mol^{-1}}.
Substituindo os valores numéricos na fórmula de r:
r = \left(\frac{3\cdot 3{,}19\times10^{-5}}{16\pi\cdot 6{,}022\times10^{23}}\right)^{1/3}.

Passo 5

Fazer as contas passo a passo:
  • Calcular o numerador:
3b = 3\cdot 3{,}19\times10^{-5} = 9{,}57\times10^{-5}.
  • Calcular o denominador aproximado:
16\pi N_A \approx 16\cdot 3{,}14159265\cdot6{,}022\times10^{23} \approx 50{,}2655\cdot6{,}022\times10^{23} \approx 3{,}027\times10^{25}.
  • Divisão:
\frac{3b}{16\pi N_A} \approx \frac{9{,}57\times10^{-5}}{3{,}027\times10^{25}} \approx 3{,}16\times10^{-30}.
  • Raiz cúbica: separar mantissa e potência de dez.
r \approx (3{,}16)^{1/3}\times(10^{-30})^{1/3} \approx 1{,}468\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
  • Diâmetro:
d = 2r \approx 2\cdot 1{,}468\times10^{-10}\\ \mathrm{m} \approx 2{,}936\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.
Arredondando sensatamente (três algarismos significativos):
d \approx 2{,}94\times10^{-10}\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Dica prática para a prova: memorize a relação b = \dfrac{16}{3}\pi N_A r^{3} para esferas rígidas ou derive rapidamente a partir do argumento do volume excluído (8 vezes o volume de uma esfera por par, depois dividir por 2 pelos pares). Para cálculos sem calculadora, transforme a potência de dez antes de extrair a raiz cúbica (a raiz cúbica de 10^{-30} é 10^{-10}) e estime a raiz cúbica da mantissa com aproximações (por exemplo, 1{,}468^{3}\approx3{,}16).

Resposta

d = 2{,}94\times10^{-10}\\ \mathrm{m}

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