(d) Calcule P(Y-X>2).
Dica: Lembre-se que sumi=0^n a^i=1-a^n+11-a. Logo, sumi=0^infty a^i=11-a e sumi=k^infty a^i=a^k1-a, se a<1.

Passo 1

Então, o problema pede pra gente achar
Pl(Y - X > 2r),
onde e são variáveis aleatórias independentes do tipo geométrica (suporte ) com parâmetro .
Conteúdo: probabilidade de diferença de variáveis, soma de séries geométricas.
O que vamos precisar:
• usar independência para escrever como soma de produtos de probabilidades;
• saber que, para , .

Passo 2

Como P(Y - X > 2) =sumx=0^inftyP(X=x),Pl(Y > x+2r) e são independentes, dá pra escrever
Aqui a gente “quebra” a probabilidade em todas as possíveis que assume.

Passo 3

Lembra que, se P(Y=i)=(1-p)^i,p e P(Y>k)=sumi=k+1^infty(1-p)^i,p =(1-p)^k+11-(1-p)=(1-p)^k+1 no suporte P(Y > x+2)=(1-p)^(x+2)+1=(1-p)^x+3 , então
No nosso caso , então

Passo 4

Substituindo tudo na soma do Passo 2:
P(Y-X>2) =sumx=0^inftyl[(1-p)^x pr];cdot;(1-p)^x+3 = p,(1-p)^3sumx=0^infty(1-p)^2x
Agora a gente usa sumx=0^infty(1-p)^2x = 11-(1-p)^2 = 11 - (1 - 2p + p^2) = 12p - p^2 = 1p(2 - p) com :

Resposta

P(Y - X > 2) ;=; p,(1-p)^3 ;cdot;1p(2 - p) ;=;(1-p)^32 - p

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