Suponha que 2 bolas sejam retiradas, sem reposição, de uma urna que contém inicialmente 2 bolas vermelhas, 3 bolas brancas e 5 azuis. Sejam
e
variáveis aleatórias que representam o número de bolas vermelhas e brancas retiradas, respectivamente.
(a) Encontre a Função de Probabilidade Conjunta do vetor aleatório
.
(a) Encontre a Função de Probabilidade Conjunta do vetor aleatório
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que temos uma urna com 2 bolas vermelhas, 3 brancas e 5 azuis, e vamos tirar 2 bolas sem repor. Definimos as variáveis aleatórias:
-
= número de bolas vermelhas na retirada -
= número de bolas brancas na retirada
Conteúdo: probabilidade discreta, combinações e distribuição hipergeométrica.
O que a gente vai usar: contar quantas formas de tirar vermelhas,
brancas e o resto azuis, dividir pelo total de formas de tirar 2 bolas.
O que a gente vai usar: contar quantas formas de tirar
Passo 2
Primeiro, qual o total de jeitos de escolher 2 bolas de 10?
Isso é dado por combinação simples (sem ordem), .
Isso é dado por combinação simples (sem ordem),
Passo 3
Para achar
, a ideia é:
- Escolher
vermelhas dentre as 2 disponíveis: . - Escolher
brancas dentre as 3 disponíveis: . - Completar com
azuis dentre as 5 disponíveis: . - Dividir pelo total
.
Isso é exatamente a distribuição hipergeométrica em duas categorias (na prática, três, mas azul é só o “resto”).
Passo 4
Então, para
e
, temos:
Fora dessas condições (por exemplo,
ou
ou
), a probabilidade é zero.
Resposta
A função de probabilidade conjunta de
é