Suponha que 2 bolas sejam retiradas, sem reposição, de uma urna que contém inicialmente 2 bolas vermelhas, 3 bolas brancas e 5 azuis. Sejam X e Y variáveis aleatórias que representam o número de bolas vermelhas e brancas retiradas, respectivamente.
(a) Encontre a Função de Probabilidade Conjunta do vetor aleatório (X, Y).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que temos uma urna com 2 bolas vermelhas, 3 brancas e 5 azuis, e vamos tirar 2 bolas sem repor. Definimos as variáveis aleatórias:
  • = número de bolas vermelhas na retirada
  • = número de bolas brancas na retirada
Conteúdo: probabilidade discreta, combinações e distribuição hipergeométrica.
O que a gente vai usar: contar quantas formas de tirar vermelhas, brancas e o resto azuis, dividir pelo total de formas de tirar 2 bolas.

Passo 2

Primeiro, qual o total de jeitos de escolher 2 bolas de 10?
Isso é dado por combinação simples (sem ordem), binom102 = 10 times 92 = 45 .

Passo 3

Para achar , a ideia é:
  1. Escolher vermelhas dentre as 2 disponíveis: .
  2. Escolher brancas dentre as 3 disponíveis: .
  3. Completar com azuis dentre as 5 disponíveis: .
  4. Dividir pelo total .
Isso é exatamente a distribuição hipergeométrica em duas categorias (na prática, três, mas azul é só o “resto”).

Passo 4

Então, para P(X = i, Y = j) = binom2i,binom3j,binom52 - i - jbinom102 e , temos:
Fora dessas condições (por exemplo, ou ou ), a probabilidade é zero.

Resposta

A função de probabilidade conjunta de boxed P(X = i, Y = j) = binom2i,binom3j,binom52 - i - jbinom102, i,j in 0,1,2,; i + j <= 2 é

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