(a) Quais as propriedades que uma função p: R^n R tem que satisfazer para que ela seja uma função de probabilidade de algum vetor aleatório discreto?

Passo 1

Beleza, o exercício tá perguntando quais as condições que uma função
p: R^n to R
precisa obedecer pra ser a tal “função de probabilidade” (ou pmf) de um vetor aleatório discreto.
Matéria: Probabilidade discreta, mais especificamente o conceito de pmf.
O que a gente vai usar:
  1. Axioma de não-negatividade de probabilidade.
  2. Axioma de que as probabilidades somam 1.

Passo 2

Primeiro axioma: não-negatividade
Qualquer probabilidade tem que ser maior ou igual a zero. Se a gente disser que p(x) ;>=; 0 é a probabilidade de o vetor aleatório tomar valor , não faz sentido ter probabilidade negativa. Logo, para todo :
Teoria por trás: Um dos postulados básicos da probabilidade diz que para qualquer evento . Aqui, o “evento” é .

Passo 3

Segundo axioma: soma das probabilidades = 1
Como o vetor é discreto, ele só assume um conjunto contável de valores. A soma de todas as probabilidades desses valores precisa dar exatamente 1. Em notação:
sumxin R^n p(x) ;=; 1
Essa regra vem do fato de que algum valor tem que ocorrer com certeza, então a probabilidade total do espaço amostral é 1.

Resposta

As duas propriedades que deve satisfazer para ser pmf de um vetor aleatório discreto são:
  1. Não-negatividade: para todo .
  2. Normalização: .

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