(a) Quais as propriedades que uma função
tem que satisfazer para que ela seja uma função de probabilidade de algum vetor aleatório discreto?
Passo 1
Beleza, o exercício tá perguntando quais as condições que uma função
precisa obedecer pra ser a tal “função de probabilidade” (ou pmf) de um vetor aleatório discreto.
Matéria: Probabilidade discreta, mais especificamente o conceito de pmf.
O que a gente vai usar:
Matéria: Probabilidade discreta, mais especificamente o conceito de pmf.
O que a gente vai usar:
- Axioma de não-negatividade de probabilidade.
- Axioma de que as probabilidades somam 1.
Passo 2
Primeiro axioma: não-negatividade
Qualquer probabilidade tem que ser maior ou igual a zero. Se a gente disser que é a probabilidade de o vetor aleatório
tomar valor
, não faz sentido ter probabilidade negativa. Logo, para todo
:
Qualquer probabilidade tem que ser maior ou igual a zero. Se a gente disser que
Teoria por trás: Um dos postulados básicos da probabilidade diz que
para qualquer evento
. Aqui, o “evento” é
.
Passo 3
Segundo axioma: soma das probabilidades = 1
Como o vetor é discreto, ele só assume um conjunto contável de valores. A soma de todas as probabilidades desses valores precisa dar exatamente 1. Em notação:
Como o vetor é discreto, ele só assume um conjunto contável de valores. A soma de todas as probabilidades desses valores precisa dar exatamente 1. Em notação:
Essa regra vem do fato de que algum valor tem que ocorrer com certeza, então a probabilidade total do espaço amostral é 1.
Resposta
As duas propriedades que
deve satisfazer para ser pmf de um vetor aleatório discreto são:
- Não-negatividade:
para todo . - Normalização:
.