(b) Seja p uma função tal que,
p(x, y)= q^2(1-q)^y-2 & , se x=1,2, ldots e y=x+1, x+2, ldots 0 & , caso contrário á
Use as propriedades listadas no item anterior para verificar que p é função de probabilidade de algum vetor aleatório discreto, qualquer que seja 0.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: definimos
p(x,y)= q^2(1-q)^y-2,&se x=1,2,ldots e y=x+1,x+2,ldots, 0,&caso contrário, á
com . A tarefa é verificar que é de fato uma função de probabilidade conjunta de um vetor aleatório discreto. Ou seja, temos que checar duas coisas:
  1. para todo par .
  2. .
    Para isso vamos usar conceitos de massa de probabilidade discreta e soma de séries geométricas.

Passo 2

Primeiro, a não-negatividade é trivial:
  • porque .
  • também, já que .
    Logo, sempre.

Passo 3

Agora, vamos somar todas as probabilidades:
sumx=1^inftysumy=x+1^inftyp(x,y) =sumx=1^inftysumy=x+1^inftyq^2(1-q)^y-2
  1. Primeiro a soma em sumy=x+1^infty(1-q)^y-2 =sumk=x-1^infty(1-q)^k =(1-q)^x-1sumk=0^infty(1-q)^k =(1-q)^x-1cdot11-(1-q) =(1-q)^x-1q , com sumx=1^inftyq^2,(1-q)^x-1q =sumx=1^inftyq,(1-q)^x-1 =qsumx=1^infty(1-q)^x-1 variando de sumx=1^infty(1-q)^x-1 =11-(1-q)=1q até qsumx=1^infty(1-q)^x-1 =qcdot1q=1 . Note que é uma série geométrica em , de razão . Mais precisamente, se a gente coloca , quando vem . Então
  1. Substituindo na soma dupla:
Mas é outra geométrica de razão , iniciando em , logo vale
Portanto

Resposta

Como e a soma de todas as probabilidades dá , concluímos que é de fato uma função de probabilidade conjunta válida.

Exercícios relacionados