(b) Seja
uma função tal que,
Use as propriedades listadas no item anterior para verificar que
é função de probabilidade de algum vetor aleatório discreto, qualquer que seja
.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: definimos
com
. A tarefa é verificar que
é de fato uma função de probabilidade conjunta de um vetor aleatório discreto. Ou seja, temos que checar duas coisas:
-
para todo par . -
.
Para isso vamos usar conceitos de massa de probabilidade discreta e soma de séries geométricas.
Passo 2
Primeiro, a não-negatividade é trivial:
-
porque . -
também, já que .
Logo,sempre.
Passo 3
Agora, vamos somar todas as probabilidades:
- Primeiro a soma em
, com variando de até . Note que é uma série geométrica em , de razão . Mais precisamente, se a gente coloca , quando vem . Então
- Substituindo na soma dupla:
Mas
é outra geométrica de razão
, iniciando em
, logo vale
Portanto
Resposta
Como
e a soma de todas as probabilidades dá
, concluímos que
é de fato uma função de probabilidade conjunta válida.