3.3 Calcule a diferença das energias, em eV, dos dois estados de menor energia de um elétron num poço de potencial infinito de largura: a) L=30 AA; b) L=1 cm.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Física sobre a diferença de energias entre os dois estados de menor energia de um elétron em um poço de potencial infinito. O conteúdo envolvido aqui é a mecânica quântica, especificamente o modelo do poço de potencial infinito. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula das energias dos níveis quantizados e calcular a diferença entre o segundo e o primeiro nível de energia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para as energias dos níveis em um poço de potencial infinito:
En = n^2 h^28 m L^2
onde:
  • $ E_n $ é a energia do nível $ n $,
  • $ h $ é a constante de Planck ($ 6,626 \times 10^{-34} $ J·s),
  • $ m $ é a massa do elétron ($ 9,109 \times 10^{-31} $ kg),
  • $ L $ é a largura do poço,
  • $ n $ é o número do nível de energia (1, 2, 3, …).

Passo 3

Precisamos calcular a diferença de energia entre os dois primeiros níveis, ou seja, $ E_2 - E_1 $. Usando a fórmula:
E2 - E1

Passo 4

Agora, vamos converter a constante de Planck para eV·s, já que queremos a energia em elétron-volts (1 eV = $ 1,602 \times 10^{-19} $ J):
1,602 times 10^-19

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula da diferença de energia:
De

Passo 6

Vamos calcular para a letra a) onde $ L = 30 \AA = 30 \times 10^{-10} $ m:
L = 30 AA = 30 times 10^-10
Calculando os valores:
De
De
De
Houve um erro nos cálculos intermediários. Vamos refazer de forma mais precisa:
De
De
De
De
Parece que os valores estão muito altos, indicando um erro. Vamos usar outra abordagem:
Sabemos que a diferença de energia em um poço de potencial infinito é:
De
Convertendo os valores para unidades consistentes:
De
h = 4,135667696 times 10^-15 eV·s
m = 9,109 times 10^-31 kg
Substituindo:
L = 30 times 10^-10 m
De
De
De
Ainda está muito alto, o que sugere que a conversão para eV pode estar incorreta. Em vez disso, calculamos em Joules e convertendo depois:
De
De
De
De
Convertendo para eV:
De

Passo 7

Agora, para a letra b) onde $ L = 1 cm = 1 \times 10^{-2} $ m:
L = 1 cm = 1 times 10^-2
De
De
De
Convertendo para eV:
De

Resposta

a) A diferença de energia é aproximadamente 12,57 eV.
b) A diferença de energia é aproximadamente 1,13 × 10⁻¹⁴ eV.

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