3.3 Calcule a diferença das energias, em eV, dos dois estados de menor energia de um elétron num poço de potencial infinito de largura: a)
; b)
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Física sobre a diferença de energias entre os dois estados de menor energia de um elétron em um poço de potencial infinito. O conteúdo envolvido aqui é a mecânica quântica, especificamente o modelo do poço de potencial infinito. Para resolver, vamos precisar usar a fórmula das energias dos níveis quantizados e calcular a diferença entre o segundo e o primeiro nível de energia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para as energias dos níveis em um poço de potencial infinito:
onde:
- $ E_n $ é a energia do nível $ n $,
- $ h $ é a constante de Planck ($ 6,626 \times 10^{-34} $ J·s),
- $ m $ é a massa do elétron ($ 9,109 \times 10^{-31} $ kg),
- $ L $ é a largura do poço,
- $ n $ é o número do nível de energia (1, 2, 3, …).
Passo 3
Precisamos calcular a diferença de energia entre os dois primeiros níveis, ou seja, $ E_2 - E_1 $. Usando a fórmula:
Passo 4
Agora, vamos converter a constante de Planck para eV·s, já que queremos a energia em elétron-volts (1 eV = $ 1,602 \times 10^{-19} $ J):
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula da diferença de energia:
Passo 6
Vamos calcular para a letra a) onde $ L = 30 \AA = 30 \times 10^{-10} $ m:
Calculando os valores:
Houve um erro nos cálculos intermediários. Vamos refazer de forma mais precisa:
Parece que os valores estão muito altos, indicando um erro. Vamos usar outra abordagem:
Sabemos que a diferença de energia em um poço de potencial infinito é:
Convertendo os valores para unidades consistentes:
Substituindo:
Ainda está muito alto, o que sugere que a conversão para eV pode estar incorreta. Em vez disso, calculamos em Joules e convertendo depois:
Convertendo para eV:
Passo 7
Agora, para a letra b) onde $ L = 1 cm = 1 \times 10^{-2} $ m:
Convertendo para eV:
Resposta
a) A diferença de energia é aproximadamente 12,57 eV.
b) A diferença de energia é aproximadamente 1,13 × 10⁻¹⁴ eV.