3.4 Considere um elétron num poço de potencial infinito de largura L, no primeiro estado excitado. Calcule: a) O valor esperado da posição x do elétron; b) O desvio médio quadrático da posição, De; c) O valor esperado do momentum px; d) O desvio médio quadrático do momentum; e) O produto das incertezas De.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um elétron dentro de um poço de potencial infinito com largura $ L $ e ele está no primeiro estado excitado. A matéria principal aqui é mecânica quântica, especificamente sobre partículas em potenciais restritos. Para resolver os itens a) até e), vamos precisar usar funções de onda, valores esperados e desvios padrão tanto para posição quanto para momentum. Vamos passo a passo!

Passo 2

a) Calcular o valor esperado da posição $ x $ do elétron.
Primeiro, o valor esperado da posição é dado por:
x
No primeiro estado excitado, a função de onda $ \psi(x) $ é:
lang<= x rang<= = integral0^L psi^*(x) , x , psi(x) , dx
Como a função $ \psi(x) $ é real, $ \psi^*(x) = \psi(x) $. Vamos calcular:
psi(x)
Simplificando:
psi(x) = raiz2L sin(2pi xL)
Utilizando a identidade trigonométrica $ \sin^2(a) = \frac{1 - \cos(2a)}{2} $:
psi(x)
A primeira integral é fácil:
psi^*(x) = psi(x)
A segunda integral pode ser resolvida por partes e, após o cálculo, ela se anula devido à simetria da função cosseno no intervalo considerado. Portanto:
lang<= x rang<= = 2L integral0^L sin(2pi xL) , x , sin(2pi xL) , dx

Passo 3

b) Calcular o desvio médio quadrático da posição, $ \overline{\Delta x^{2}} = \langle(x - \langle x \rangle)^2\rangle $.
Primeiro, expandimos a expressão:
De
Já sabemos que $ \langle x \rangle = \frac{L}{2} $. Vamos calcular $ \langle x^2 \rangle $:
De
Usando novamente $ \sin^2(a) = \frac{1 - \cos(2a)}{2} $:
lang<= x rang<= = L2
A primeira integral é:
lang<= x^2 rang<=
A segunda integral, após cálculo, resulta em zero devido à média da função cosseno no intervalo. Então:
lang<= x^2 rang<= = integral0^L psi^*(x) , x^2 , psi(x) , dx = 2L integral0^L x^2 sin^2(2pi xL) dx
Agora, calculamos o desvio médio quadrático:
sin^2(a) = 1 - cos(2a)2

Passo 4

c) Calcular o valor esperado do momentum $ p_{x} $.
O valor esperado do momentum é dado por:
px
Vamos derivar $ \psi(x) $:
lang<= px rang<= = integral0^L psi^*(x) (-ihbar ddx) psi(x) dx
Portanto:
psi(x)
Usando a identidade $ \sin(a)\cos(a) = \frac{1}{2} \sin(2a) $:
ddx psi(x) = raiz2L cdot 2piL cos(2pi xL)
Calculando os limites:
lang<= px rang<= = -ihbar cdot 2L cdot 2piL integral0^L sin(2pi xL) cos(2pi xL) dx
Então:
sin(a)cos(a) = 12 sin(2a)

Passo 5

d) Calcular o desvio médio quadrático do momentum.
Primeiro, a relação é similar à posição:
De
Já vimos que $ \langle p_{x} \rangle = 0 $, então:
lang<= px rang<= = 0
Calculamos $ \langle p_{x}^2 \rangle $:
De
Derivando duas vezes $ \psi(x) $:
lang<= px^2 rang<=
Então:
lang<= px^2 rang<= = integral0^L psi^*(x) (-ihbar ddx)^2 psi(x) dx = -hbar^2 integral0^L psi(x) d^2dx^2 psi(x) dx
Portanto:
psi(x)

Passo 6

e) Calcular o produto das incertezas $ \Delta x \Delta p_{x} $.
Primeiro, calculamos as incertezas individuais:
De
De
Agora, o produto:
De
Simplificando:
De

Resposta

a) $ \langle x \rangle = \frac{L}{2} $
b) $ \overline{\Delta x^{2}} = \frac{L^{2}}{12} $
c) $ \langle p_{x} \rangle = 0 $
d) $ \overline{\Delta p_{x}^{2}} = \frac{8\pi^{2} \hbar{2}}{L{3}} $
e) $ \Delta x \Delta p_{x} = \frac{\pi \hbar}{\sqrt{3/2} , L^{1/2}} $

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