3.4 Considere um elétron num poço de potencial infinito de largura , no primeiro estado excitado. Calcule: a) O valor esperado da posição do elétron; b) O desvio médio quadrático da posição, ; c) O valor esperado do momentum px; d) O desvio médio quadrático do momentum; e) O produto das incertezas De.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um elétron dentro de um poço de potencial infinito com largura $ L $ e ele está no primeiro estado excitado. A matéria principal aqui é mecânica quântica, especificamente sobre partículas em potenciais restritos. Para resolver os itens a) até e), vamos precisar usar funções de onda, valores esperados e desvios padrão tanto para posição quanto para momentum. Vamos passo a passo!
Passo 2
a) Calcular o valor esperado da posição $ x $ do elétron.
Primeiro, o valor esperado da posição é dado por:
x
No primeiro estado excitado, a função de onda $ \psi(x) $ é:
lang<= x rang<= = integral0^L psi^*(x) , x , psi(x) , dx
Como a função $ \psi(x) $ é real, $ \psi^*(x) = \psi(x) $. Vamos calcular:
A segunda integral pode ser resolvida por partes e, após o cálculo, ela se anula devido à simetria da função cosseno no intervalo considerado. Portanto:
lang<= x rang<= = 2L integral0^L sin(2pi xL) , x , sin(2pi xL) , dx
Passo 3
b) Calcular o desvio médio quadrático da posição, $ \overline{\Delta x^{2}} = \langle(x - \langle x \rangle)^2\rangle $.
Primeiro, expandimos a expressão:
De
Já sabemos que $ \langle x \rangle = \frac{L}{2} $. Vamos calcular $ \langle x^2 \rangle $: