Calcule a diferença de potencial V_{A B} entre os pontos A(-20,-30) \mathrm{cm} e B(40,50) \mathrm{cm}, na presença de um campo elétrico uniforme \vec{E}=-200 \vec{a}_{y}.

Passo 1

O enunciado pede a diferença de potencial entre os pontos A e B, dada por V_{AB}. Dados fornecidos:
  • Coordenadas do ponto A: (-20,-30)\\ \text{cm}.
  • Coordenadas do ponto B: (40,50)\\ \text{cm}.
  • Campo elétrico uniforme: \vec{E}=-200\,\vec{a}_{y}. (Unidades presumidas: \text{V/m} ou \text{N/C}.)
    A tarefa é calcular V_{AB} usando esses dados.

Passo 2

Entendendo o que é a diferença de potencial e a convenção de sinal (aula rápida e necessária).
  • A diferença de potencial entre A e B é normalmente definida como V_{AB}=V_A-V_B.
  • Para um campo elétrico eletrostático \vec{E} uniforme, a diferença de potencial pode ser obtida integrando \vec{E} ao longo de um caminho de A para B. A relação que usaremos é
V_A-V_B=\int_{A}^{B}\vec{E}\cdot d\vec{\ell},
ou, de forma equivalente, como a integral de um campo constante:
V_A-V_B=\vec{E}\cdot(\vec{r}_B-\vec{r}_A).
Explicação do que aparece aí:
  • \vec{r}_A e \vec{r}_B são os vetores posição dos pontos A e B.
  • d\vec{\ell} é o vetor deslocamento infinitesimal ao longo do caminho; para \vec{E} constante a integral depende só do deslocamento total \vec{r}_B-\vec{r}_A.
  • O produto escalar \vec{E}\cdot(\vec{r}_B-\vec{r}_A) calcula quanto do deslocamento está alinhado com o campo (sinal indicado pela orientação).

Passo 3

Converter unidades e escrever os vetores posição.
  • Como as coordenadas foram dadas em centímetros, primeiro converto para metros (para ficar compatível com \vec{E} em \text{V/m}):
    • (-20,-30)\\ \text{cm} = (-0,20,-0,30)\\ \text{m}. Em notação vetorial:
    \vec{r}_A = -0{,}20\,\vec{a}_{x} - 0{,}30\,\vec{a}_{y}.
    • (40,50)\\ \text{cm} = (0,40,0,50)\\ \text{m}. Em vetores:
    \vec{r}_B = 0{,}40\,\vec{a}_{x} + 0{,}50\,\vec{a}_{y}.
(Atenção à vírgula decimal: usar 0{,}20 para 0,20.)

Passo 4

Calcular o deslocamento \vec{r}_B-\vec{r}_A.
  • Subtraindo componente a componente:
\vec{r}_B-\vec{r}_A = (0{,}40 - (-0{,}20))\,\vec{a}_{x} + (0{,}50 - (-0{,}30))\,\vec{a}_{y}.
  • Então
\vec{r}_B-\vec{r}_A = 0{,}60\,\vec{a}_{x} + 0{,}80\,\vec{a}_{y}\quad\text{(em metros)}.

Passo 5

Calcular o produto escalar \vec{E}\cdot(\vec{r}_B-\vec{r}_A).
  • O campo é \vec{E}=-200\,\vec{a}_{y}.
  • Produto escalar com o deslocamento:
\vec{E}\cdot(\vec{r}_B-\vec{r}_A)=(-200\,\vec{a}_{y})\cdot(0{,}60\,\vec{a}_{x}+0{,}80\,\vec{a}_{y}).
  • Lembrando que \vec{a}_{x}\cdot\vec{a}_{y}=0 e \vec{a}_{y}\cdot\vec{a}_{y}=1, só sobra a componente y:
\vec{E}\cdot(\vec{r}_B-\vec{r}_A)= -200 \times 0{,}80 = -160.
  • Unidades: \text{V} (porque \vec{E} em \text{V/m} vezes \text{m} \text{V}).

Passo 6

Interpretar o resultado e concluir.
  • Obtivemos
V_A-V_B=\vec{E}\cdot(\vec{r}_B-\vec{r}_A)=-160\\ \text{V}.
  • Isso significa que V_A é 160\\ \text{V} menor que V_B, ou seja V_B-V_A=160\\ \text{V}.

Resposta

-160\\ \text{V}

Exercícios relacionados