Um grande plano em
tem potencial nulo. Um segundo plano paralelo, em
, tem potencial variando segundo a função
. Calcular a função potencial na região entre os planos.
Passo 1
O enunciado diz (vou listar bem claro o que temos e o que se pede):
- Existem dois planos infinitos paralelos nas posições
e . - No plano
o potencial é nulo: . - No plano
o potencial varia com segundo . - Não há dependência descrita em
; então assumimos que o potencial não depende de (problema bidimensional em e ).
O que se pede: - Determinar a função potencial
na região entre os planos, isto é para , satisfazendo as condições de contorno acima e a equação de Laplace (região livre de cargas).
Passo 2
Qual é a equação que o potencial deve satisfazer?
- Em região sem cargas o potencial elétrico satisfaz a equação de Laplace.
- Como não há dependência em
, usamos a forma em duas dimensões:
Vou chamar esta equação simplesmente de
. Nosso objetivo é encontrar
que resolve essa equação e toma os valores dados nas bordas
e
.
Passo 3
Estratégia de solução (separação de variáveis / modo de Fourier):
- Quando as condições de contorno em
são senos ou cossenos (aqui ), é natural tentar uma solução na forma de um único modo de Fourier em . - Portanto proponho uma solução do tipo
porque essa forma já tem a dependência
exigida em
. Se a condição em
fosse uma combinação de vários senos/cossenos, deveríamos somar modos correspondentes (série de Fourier). Aqui a condição é exatamente um seno de frequência
, então só esse modo é necessário.
Passo 4
Substituição na equação de Laplace e obtenção da equação para
:
- Calculo as derivadas necessárias. Como
,
- Substituindo em
obtemos
- Como
não é identicamente zero, podemos dividir por e obter a equação ordinária para :
Passo 5
Resolução da equação ordinária e aplicação das condições de contorno:
- A equação
é uma ODE linear homogênea com coeficientes constantes. A equação auxiliar é
com raízes
. Portanto a solução geral é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições de contorno.
- Aplicar a condição em
: para todo . Logo
- Aplicar a condição em
: . Assim
Usando
obtemos
- Note que
. Portanto
- Substituindo de volta em
:
(Usei a identidade
.)
Passo 6
Escrevendo a solução completa e comentando:
- Portanto a solução para o potencial na região
é
- Comentário didático rápido: a solução decai/ cresce ao longo de
seguindo a função hiperbólica , e é exatamente igual a em e nula em . Se a fronteira em fosse uma soma de modos, a solução seria a soma correspondente de termos multiplicando cada modo ou .