Um grande plano em x=0 tem potencial nulo. Um segundo plano paralelo, em x=1, tem potencial variando segundo a função V(x=1)=\operatorname{sen}(2 y). Calcular a função potencial na região entre os planos.

Passo 1

O enunciado diz (vou listar bem claro o que temos e o que se pede):
  • Existem dois planos infinitos paralelos nas posições \,x=0 e \,x=1.
  • No plano \,x=0 o potencial é nulo: \;V(x=0,y)=0.
  • No plano \,x=1 o potencial varia com y segundo \;V(x=1,y)=\sin(2y).
  • Não há dependência descrita em z; então assumimos que o potencial não depende de z (problema bidimensional em x e y).
    O que se pede:
  • Determinar a função potencial \;V(x,y) na região entre os planos, isto é para 0<x<1, satisfazendo as condições de contorno acima e a equação de Laplace (região livre de cargas).

Passo 2

Qual é a equação que o potencial deve satisfazer?
  • Em região sem cargas o potencial elétrico satisfaz a equação de Laplace.
  • Como não há dependência em z, usamos a forma em duas dimensões:
\frac{\partial^2 V}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 V}{\partial y^2}=0.
Vou chamar esta equação simplesmente de \nabla^2 V=0. Nosso objetivo é encontrar V(x,y) que resolve essa equação e toma os valores dados nas bordas x=0 e x=1.

Passo 3

Estratégia de solução (separação de variáveis / modo de Fourier):
  • Quando as condições de contorno em y são senos ou cossenos (aqui \sin(2y)), é natural tentar uma solução na forma de um único modo de Fourier em y.
  • Portanto proponho uma solução do tipo
V(x,y)=A(x)\,\sin(2y),
porque essa forma já tem a dependência \sin(2y) exigida em x=1. Se a condição em x=1 fosse uma combinação de vários senos/cossenos, deveríamos somar modos correspondentes (série de Fourier). Aqui a condição é exatamente um seno de frequência 2, então só esse modo é necessário.

Passo 4

Substituição na equação de Laplace e obtenção da equação para A(x):
  • Calculo as derivadas necessárias. Como V(x,y)=A(x)\sin(2y),
\frac{\partial^2 V}{\partial x^2}=A''(x)\sin(2y), \qquad \frac{\partial^2 V}{\partial y^2}=A(x)\frac{d^2}{dy^2}\sin(2y)=A(x)\cdot(-4)\sin(2y).
  • Substituindo em \nabla^2 V=0 obtemos
A''(x)\sin(2y)-4A(x)\sin(2y)=0.
  • Como \sin(2y) não é identicamente zero, podemos dividir por \sin(2y) e obter a equação ordinária para A(x):
A''(x)-4A(x)=0.

Passo 5

Resolução da equação ordinária e aplicação das condições de contorno:
  • A equação
A''(x)-4A(x)=0
é uma ODE linear homogênea com coeficientes constantes. A equação auxiliar é r^2-4=0 com raízes r=\pm 2. Portanto a solução geral é
A(x)=C_1 e^{2x}+C_2 e^{-2x},
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições de contorno.
  • Aplicar a condição em x=0: \;V(0,y)=A(0)\sin(2y)=0 para todo y. Logo
A(0)=C_1+C_2=0 \quad\Rightarrow\quad C_2=-C_1.
  • Aplicar a condição em x=1: \;V(1,y)=A(1)\sin(2y)=\sin(2y). Assim
A(1)=C_1 e^{2}+C_2 e^{-2}=1.
Usando C_2=-C_1 obtemos
C_1(e^{2}-e^{-2})=1.
  • Note que e^{2}-e^{-2}=2\operatorname{sinh}(2). Portanto
C_1=\frac{1}{2\operatorname{sinh}(2)},\qquad C_2=-\frac{1}{2\operatorname{sinh}(2)}.
  • Substituindo de volta em A(x):
A(x)=\frac{1}{2\operatorname{sinh}(2)}\bigl(e^{2x}-e^{-2x}\bigr)=\frac{\operatorname{sinh}(2x)}{\operatorname{sinh}(2)}.
(Usei a identidade \operatorname{sinh}(t)=\tfrac{1}{2}(e^{t}-e^{-t}).)

Passo 6

Escrevendo a solução completa e comentando:
  • Portanto a solução para o potencial na região 0<x<1 é
V(x,y)=\frac{\operatorname{sinh}(2x)}{\operatorname{sinh}(2)}\sin(2y).
  • Comentário didático rápido: a solução decai/ cresce ao longo de x seguindo a função hiperbólica \operatorname{sinh}(2x), e é exatamente igual a \sin(2y) em x=1 e nula em x=0. Se a fronteira em x=1 fosse uma soma de modos, a solução seria a soma correspondente de termos \operatorname{sinh}(k x)/\operatorname{sinh}(k) multiplicando cada modo \sin(ky) ou \cos(ky).

Resposta

V(x,y)=\frac{\operatorname{sinh}(2x)}{\operatorname{sinh}(2)}\sin(2y)

Exercícios relacionados