Duas grandes placas metálicas paralelas estão a 10 cm de distância. Seus potenciais são 10 Volts e 50 Volts, respectivamente. Calcule a função potencial e o campo elétrico na região entre as placas. A origem do eixo x está na placa com 10 Volts.
Passo 1
O que o enunciado pede e os dados fornecidos (peguei tudo do enunciado):
- Duas placas paralelas separadas por
. - Potenciais nas placas: a placa em
tem (origem escolhida aí) e a placa em tem . - Pedidos: encontrar a função potencial
na região entre as placas e o campo elétrico nessa região.
Passo 2
Modelagem física e equação que vamos usar (explicando básico, sem pressa):
- Entre as placas, assumimos espaço livre sem cargas (regime eletrostático clássico, placas grandes/planas para desprezar bordas). Nessa situação a densidade volumétrica de carga é
. - A equação que relaciona potencial e carga é a equação de Poisson:
Como
aqui, ela vira a equação de Laplace:
- Como o problema é umidimensional (variação só ao longo de
, direção normal às placas), o operador laplaciano reduz-se a derivada segunda em :
Isto significa que o potencial no espaço entre as placas é uma função linear de
. Vou resolver essa equação e usar as condições de contorno dadas.
Passo 3
Resolver a equação diferencial simples passo a passo:
- Integramos
uma vez:
onde
é constante.
- Integramos novamente:
onde
é outra constante. Essas duas constantes serão determinadas pelas condições de contorno
e
.
Passo 4
Aplicar as condições de contorno e calcular
e
:
- Pela condição em
:
Logo
.
- Pela condição em
com :
Substituindo
obtemos
Portanto
- Assim a função potencial é
onde
está em metros e
.
(Se preferir em centímetros:
e a inclinação é
, então
.)
(Se preferir
Passo 5
Calcular o campo elétrico e interpretar a direção:
- A relação entre campo elétrico e potencial é
No caso unidimensional:
- Como o campo é constante (independente de
), em forma vetorial:
Isto significa que o campo aponta no sentido negativo de
, ou seja, das altas potenciais (
) em direção às baixas (
) — coerente com
apontando para onde o potencial decresce.
Passo 6
Cheque rápido e exemplo numérico (para ganhar confiança):
- Em
temos (ok). - Em
(meio do intervalo):
o que faz sentido linearmente entre
e
.
- Motivação rápida: problemas com placas paralelas grandes reduzem a um problema linear simples; decorar a ideia de que entre placas paralelas ideais o campo é uniforme ajuda muito na prova. Você consegue!