Duas grandes placas metálicas paralelas estão a 10 cm de distância. Seus potenciais são 10 Volts e 50 Volts, respectivamente. Calcule a função potencial e o campo elétrico na região entre as placas. A origem do eixo x está na placa com 10 Volts.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados fornecidos (peguei tudo do enunciado):
  • Duas placas paralelas separadas por d=10\\ \text{cm}=0,10\\ \text{m}.
  • Potenciais nas placas: a placa em x=0 tem V(0)=10\\ \text{V} (origem escolhida aí) e a placa em x=d tem V(d)=50\\ \text{V}.
  • Pedidos: encontrar a função potencial V(x) na região entre as placas e o campo elétrico \vec{E}(x) nessa região.

Passo 2

Modelagem física e equação que vamos usar (explicando básico, sem pressa):
  • Entre as placas, assumimos espaço livre sem cargas (regime eletrostático clássico, placas grandes/planas para desprezar bordas). Nessa situação a densidade volumétrica de carga é \rho=0.
  • A equação que relaciona potencial e carga é a equação de Poisson:
\nabla^2 V = -\frac{\rho}{\varepsilon_0}.
Como \rho=0 aqui, ela vira a equação de Laplace:
\nabla^2 V = 0.
  • Como o problema é umidimensional (variação só ao longo de x, direção normal às placas), o operador laplaciano reduz-se a derivada segunda em x:
\frac{d^2 V}{dx^2}=0.
Isto significa que o potencial no espaço entre as placas é uma função linear de x. Vou resolver essa equação e usar as condições de contorno dadas.

Passo 3

Resolver a equação diferencial simples passo a passo:
  • Integramos \dfrac{d^2 V}{dx^2}=0 uma vez:
\frac{dV}{dx}=A,
onde A é constante.
  • Integramos novamente:
V(x)=A x + B,
onde B é outra constante. Essas duas constantes serão determinadas pelas condições de contorno V(0)=10\\ \text{V} e V(d)=50\\ \text{V}.

Passo 4

Aplicar as condições de contorno e calcular A e B:
  • Pela condição em x=0:
V(0)=A\cdot 0 + B = B = 10\\ \text{V}.
Logo B=10.
  • Pela condição em x=d com d=0,10\\ \text{m}:
V(d)=A d + B = 50\\ \text{V}.
Substituindo B=10 obtemos
A d + 10 = 50 \quad\Rightarrow\quad A d = 40.
Portanto
A = \frac{40}{d} = \frac{40}{0,10} = 400\\ \text{V/m}.
  • Assim a função potencial é
V(x)=10 + 400\,x,
onde x está em metros e 0\le x\le 0,10\\ \text{m}.
(Se preferir x em centímetros: d=10\\ \text{cm} e a inclinação é 4\\ \text{V/cm}, então V(x_{\text{cm}})=10+4\,x_{\text{cm}}.)

Passo 5

Calcular o campo elétrico e interpretar a direção:
  • A relação entre campo elétrico e potencial é
\vec{E} = -\nabla V.
No caso unidimensional:
E_x = -\frac{dV}{dx} = -A = -400\\ \text{V/m}.
  • Como o campo é constante (independente de x), em forma vetorial:
\vec{E} = -400\,\hat{\mathbf{x}}\\ \text{V/m}.
Isto significa que o campo aponta no sentido negativo de x, ou seja, das altas potenciais ( 50\\ \text{V}) em direção às baixas ( 10\\ \text{V}) — coerente com \vec{E} apontando para onde o potencial decresce.

Passo 6

Cheque rápido e exemplo numérico (para ganhar confiança):
  • Em x=0 temos V(0)=10\\ \text{V} (ok).
  • Em x=0,05\\ \text{m} (meio do intervalo):
V(0,05)=10 + 400\cdot 0,05 = 10 + 20 = 30\\ \text{V},
o que faz sentido linearmente entre 10 e 50.
  • Motivação rápida: problemas com placas paralelas grandes reduzem a um problema linear simples; decorar a ideia de que entre placas paralelas ideais o campo é uniforme ajuda muito na prova. Você consegue!

Resposta

V(x)=10 + 400\,x\\ \text{V},\quad 0\le x\le 0,10\\ \text{m}\n
\vec{E}(x)=-400\,\hat{\mathbf{x}}\\ \text{V/m}

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