Use a Regra da Cadeia para encontrar as derivadas indicadas.
Dado
. Encontre
.
Dado
Passo 1
O enunciado dá as três relações abaixo e pede a derivada de
em relação a
:
Pergunta: encontrar
.
Passo 2
Entendendo o que precisamos usar: aqui
é dada como função de duas variáveis
e
, e ambas dependem de
. Para derivar
em relação a
usamos a Regra da Cadeia multivariável (também chamada de fórmula da derivada total):
Explicando:
é a derivada de
tratando
como constante;
é a derivada de
tratando
como constante. Depois multiplicamos cada uma pelo respectivo
ou
(derivadas de
e
em relação a
) e somamos.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais
e
. Defina a função interna
de modo que
. Pela regra da cadeia (derivada de exponencial composta):
Agora derive
em relação a
e a
. Como
, ao derivar
usamos que a derivada de seno é cosseno vezes a derivada do argumento:
Passo 4
Agora combine para obter as parciais de
:
Expliquei: primeiro veio
, depois multiplica-se pelo
(derivada do seno) e pelo fator vindo da derivada do argumento
.
Passo 5
Calcule agora
e
a partir de
e
:
Expliquei: a derivada de
é
. A derivada de
é
vezes a derivada de
, que é
.
Passo 6
Agora aplique a fórmula da derivada total:
Substituindo as expressões encontradas:
Passo 7
Simplifique a expressão fatorando
. Observe que
e que
. Portanto
Passo 8
Por fim, como queremos
em função de
apenas, substituímos
e
no argumento
:
Logo a forma final é