Use a Regra da Cadeia para encontrar as derivadas indicadas.
Dado z=e^{\operatorname{sen}(4 x-9 y)}, x=t^{2}, y=e^{-t}. Encontre \frac{d z}{d t}.

Passo 1

O enunciado dá as três relações abaixo e pede a derivada de z em relação a t:
z = e^{\operatorname{sen}(4x-9y)},\qquad x = t^{2},\qquad y = e^{-t}.
Pergunta: encontrar \displaystyle \frac{dz}{dt}.

Passo 2

Entendendo o que precisamos usar: aqui z é dada como função de duas variáveis x e y, e ambas dependem de t. Para derivar z em relação a t usamos a Regra da Cadeia multivariável (também chamada de fórmula da derivada total):
\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.
Explicando: \frac{\partial z}{\partial x} é a derivada de z tratando y como constante; \frac{\partial z}{\partial y} é a derivada de z tratando x como constante. Depois multiplicamos cada uma pelo respectivo \frac{dx}{dt} ou \frac{dy}{dt} (derivadas de x e y em relação a t) e somamos.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y}. Defina a função interna
u(x,y)=\operatorname{sen}(4x-9y),
de modo que z=e^{u}. Pela regra da cadeia (derivada de exponencial composta):
\frac{\partial z}{\partial u}=e^{u}.
Agora derive u em relação a x e a y. Como u=\operatorname{sen}(4x-9y), ao derivar \operatorname{sen}(\cdot) usamos que a derivada de seno é cosseno vezes a derivada do argumento:
\frac{\partial u}{\partial x}=\cos(4x-9y)\cdot\frac{\partial}{\partial x}(4x-9y)=\cos(4x-9y)\cdot 4,
\frac{\partial u}{\partial y}=\cos(4x-9y)\cdot\frac{\partial}{\partial y}(4x-9y)=\cos(4x-9y)\cdot(-9).

Passo 4

Agora combine para obter as parciais de z:
\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}=e^{\operatorname{sen}(4x-9y)}\cdot\bigl(4\cos(4x-9y)\bigr),
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial z}{\partial u}\cdot\frac{\partial u}{\partial y}=e^{\operatorname{sen}(4x-9y)}\cdot\bigl(-9\cos(4x-9y)\bigr).
Expliquei: primeiro veio e^{u}, depois multiplica-se pelo \cos (derivada do seno) e pelo fator vindo da derivada do argumento 4x-9y.

Passo 5

Calcule agora \frac{dx}{dt} e \frac{dy}{dt} a partir de x=t^{2} e y=e^{-t}:
\frac{dx}{dt}=2t,
\frac{dy}{dt}=\frac{d}{dt}e^{-t}=e^{-t}\cdot(-1)=-e^{-t}.
Expliquei: a derivada de t^{2} é 2t. A derivada de e^{-t} é e^{-t} vezes a derivada de -t, que é -1.

Passo 6

Agora aplique a fórmula da derivada total:
\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.
Substituindo as expressões encontradas:
\frac{dz}{dt}= \bigl(e^{\operatorname{sen}(4x-9y)}\cdot 4\cos(4x-9y)\bigr)\cdot(2t) + \bigl(e^{\operatorname{sen}(4x-9y)}\cdot(-9\cos(4x-9y))\bigr)\cdot(-e^{-t}).

Passo 7

Simplifique a expressão fatorando e^{\operatorname{sen}(4x-9y)}\cos(4x-9y). Observe que 4\cdot 2t=8t e que (-9)\cdot(-e^{-t})=9e^{-t}. Portanto
\frac{dz}{dt}=e^{\operatorname{sen}(4x-9y)}\cos(4x-9y)\,\bigl(8t+9e^{-t}\bigr).

Passo 8

Por fim, como queremos \frac{dz}{dt} em função de t apenas, substituímos x=t^{2} e y=e^{-t} no argumento 4x-9y:
4x-9y = 4t^{2}-9e^{-t}.
Logo a forma final é
\frac{dz}{dt}=e^{\operatorname{sen}\bigl(4t^{2}-9e^{-t}\bigr)}\cos\bigl(4t^{2}-9e^{-t}\bigr)\,\bigl(8t+9e^{-t}\bigr).

Resposta

\frac{dz}{dt}=e^{\operatorname{sen}\bigl(4t^{2}-9e^{-t}\bigr)}\cos\bigl(4t^{2}-9e^{-t}\bigr)\,\bigl(8t+9e^{-t}\bigr).

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