Use a Regra da Cadeia para encontrar as derivadas indicadas.
Dado w=e^{x^{2} y-3 z^{2}}, x=t-y, y=t+z, z=e^{t}. Encontre \frac{d w}{d t}.

Passo 1

Dados fornecidos:
w = e^{x^{2}y - 3z^{2}}, x = t - y, y = t + z, z = e^{t}.
Pergunta: encontrar \dfrac{dw}{dt}.

Passo 2

Regra da Cadeia (forma usada aqui): se w = w(x,y,z) e x,y,z são funções de t, então
\frac{dw}{dt} = \frac{\partial w}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial w}{\partial y}\frac{dy}{dt} + \frac{\partial w}{\partial z}\frac{dz}{dt}.
Explicação rápida: cada termo \frac{\partial w}{\partial x}\frac{dx}{dt} representa como w muda quando x muda, multiplicado pela rapidez com que x muda em relação a t. Fazemos isso para cada variável independente x,y,z e somamos.

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais de w. Defina u = x^{2}y - 3z^{2}, então w = e^{u}.
Derivando em relação a x com y,z tratados como constantes:
\frac{\partial w}{\partial x} = e^{u}\cdot\frac{\partial u}{\partial x} = e^{u}\cdot(2xy).
Derivando em relação a y:
\frac{\partial w}{\partial y} = e^{u}\cdot\frac{\partial u}{\partial y} = e^{u}\cdot(x^{2}).
Derivando em relação a z:
\frac{\partial w}{\partial z} = e^{u}\cdot\frac{\partial u}{\partial z} = e^{u}\cdot(-6z).
Reescrevendo com w (pois w=e^{u}):
\frac{\partial w}{\partial x} = w\cdot(2xy),\qquad \frac{\partial w}{\partial y} = w\cdot x^{2},\qquad \frac{\partial w}{\partial z} = w\cdot(-6z).

Passo 4

Calculamos dx/dt,\;dy/dt,\;dz/dt. Usamos as relações dadas e a dependência encadeada:
Primeiro z = e^{t}, então
\frac{dz}{dt} = e^{t}.
Depois y = t + z, então tratando z como função de t,
\frac{dy}{dt} = 1 + \frac{dz}{dt} = 1 + e^{t}.
Depois x = t - y, então
\frac{dx}{dt} = 1 - \frac{dy}{dt} = 1 - (1 + e^{t}) = -e^{t}.
Observação (verificação alternativa): substituindo diretamente z=e^{t} em y e em x obtemos y = t + e^{t} e x = -e^{t}, cujas derivadas concordam com as acima.

Passo 5

Agora aplicamos a fórmula da Regra da Cadeia:
\frac{dw}{dt} = \frac{\partial w}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial w}{\partial y}\frac{dy}{dt} + \frac{\partial w}{\partial z}\frac{dz}{dt}.
Substituindo as parciais encontradas:
\frac{dw}{dt} = w\,(2xy)\,\frac{dx}{dt} + w\,x^{2}\,\frac{dy}{dt} + w\,(-6z)\,\frac{dz}{dt}.
Fatorando w:
\frac{dw}{dt} = w\left[2xy\frac{dx}{dt} + x^{2}\frac{dy}{dt} - 6z\frac{dz}{dt}\right].

Passo 6

Substituímos x,y,z e suas derivadas em termos de t:
x = -e^{t}, y = t + e^{t}, z = e^{t},
\dfrac{dx}{dt} = -e^{t}, \dfrac{dy}{dt} = 1+e^{t}, \dfrac{dz}{dt} = e^{t}.
Calcule cada parcela:
2xy\frac{dx}{dt} = 2(-e^{t})(t+e^{t})(-e^{t}) = 2e^{2t}(t+e^{t}) = 2te^{2t}+2e^{3t},
x^{2}\frac{dy}{dt} = e^{2t}(1+e^{t}) = e^{2t}+e^{3t},
-6z\frac{dz}{dt} = -6e^{t}\cdot e^{t} = -6e^{2t}.
Somando as parcelas dentro dos colchetes:
2te^{2t}+2e^{3t} + e^{2t}+e^{3t} -6e^{2t} = 2te^{2t} + 3e^{3t} -5e^{2t}.
Logo
\frac{dw}{dt} = w\left(2te^{2t} + 3e^{3t} -5e^{2t}\right).

Passo 7

Podemos reescrever w em termos de t para ter \dfrac{dw}{dt} completamente em função de t. O expoente original é
x^{2}y - 3z^{2} = e^{2t}(t+e^{t}) - 3e^{2t} = e^{2t}\bigl(t - 3 + e^{t}\bigr),
portanto
w = \exp\!\bigl(e^{2t}(t - 3 + e^{t})\bigr).
Substituindo em \dfrac{dw}{dt}:
\frac{dw}{dt} = \exp\!\bigl(e^{2t}(t - 3 + e^{t})\bigr)\,\bigl(2te^{2t} + 3e^{3t} -5e^{2t}\bigr).
Podemos fatorar e^{2t} no segundo fator, se quisermos:
\frac{dw}{dt} = \exp\!\bigl(e^{2t}(t - 3 + e^{t})\bigr)\,e^{2t}\bigl(2t -5 + 3e^{t}\bigr).

Resposta

\displaystyle \frac{dw}{dt} = \exp\!\bigl(e^{2t}(t - 3 + e^{t})\bigr)\,e^{2t}\bigl(2t -5 + 3e^{t}\bigr)

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