Use a Regra da Cadeia para encontrar as derivadas indicadas.
Dado
. Encontre
.
Dado
Passo 1
Dados fornecidos:
,
,
,
.
Pergunta: encontrar .
Pergunta: encontrar
Passo 2
Regra da Cadeia (forma usada aqui): se
e
são funções de
, então
Explicação rápida: cada termo
representa como
muda quando
muda, multiplicado pela rapidez com que
muda em relação a
. Fazemos isso para cada variável independente
e somamos.
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais de
. Defina
, então
.
Derivando em relação a com
tratados como constantes:
Derivando em relação a
Derivando em relação a
:
Derivando em relação a
:
Reescrevendo com
(pois
):
Passo 4
Calculamos
. Usamos as relações dadas e a dependência encadeada:
Primeiro , então
Primeiro
Depois
, então tratando
como função de
,
Depois
, então
Observação (verificação alternativa): substituindo diretamente
em
e em
obtemos
e
, cujas derivadas concordam com as acima.
Passo 5
Agora aplicamos a fórmula da Regra da Cadeia:
Substituindo as parciais encontradas:
Fatorando
:
Passo 6
Substituímos
e suas derivadas em termos de
:
,
,
,
,
,
.
Calcule cada parcela:
Calcule cada parcela:
Somando as parcelas dentro dos colchetes:
Logo
Passo 7
Podemos reescrever
em termos de
para ter
completamente em função de
. O expoente original é
portanto
Substituindo em
:
Podemos fatorar
no segundo fator, se quisermos: