Calcule a diferencial (notação clássica) da função
f(x, y)=e^x sin y, no ponto (1, pi / 4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a diferencial clássica da função no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas parciais e como elas se combinam para formar a diferencial total da função.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é a diferencial de uma função de duas variáveis. A diferencial df = partial fpartial x dx + partial fpartial y dy de uma função é dada por:
Isso significa que a diferencial é uma combinação das derivadas parciais de em relação a e , multiplicadas pelos incrementos e , respectivamente.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais de partial fpartial x = partialpartial x ( e^x sin y ) = e^x sin y :
  1. Derivada parcial em relação a partial fpartial y = partialpartial y ( e^x sin y ) = e^x cos y :
Porque a derivada de em relação a é , e é tratado como uma constante.
  1. Derivada parcial em relação a :
Aqui, a derivada de em relação a é , e permanece como constante.

Passo 4

Agora, vamos avaliar essas derivadas parciais no ponto dado partial fpartial x g|(1, pi / 4) = e^1 sin ( pi4 ) = e times raiz22 = e raiz22 :
  1. Avaliação de partial fpartial y g|(1, pi / 4) = e^1 cos ( pi4 ) = e times raiz22 = e raiz22 em :
  1. Avaliação de em :

Passo 5

Com as derivadas parciais avaliadas, podemos montar a expressão da diferencial df = e raiz22 , dx + e raiz22 , dy no ponto :

Resposta

A diferencial da função df = e raiz22 , dx + e raiz22 , dy no ponto é:

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