Uma companhia fabrica dois tipos de tênis, tênis de corrida e tênis de basquete. A receita total de x1 unidades de T enis de corrida e x2 unidades de tênis de basquete é dada por R=-5 x1^2-8 x2^2-2 x1 x2+42 x1+102 x2, onde x1 e x2 são dados em milhares de unidades. Encontre x1 e x2 que maximizam a receita.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma empresa que fabrica dois tipos de tênis: de corrida e de basquete. A receita total da venda desses tênis é dada pela fórmula:
R = -5 x1^2 - 8 x2^2 - 2 x1 x2 + 42 x1 + 102 x2
Aqui, x1 representa a quantidade de tênis de corrida vendidos (em milhares de unidades) e x2 representa a quantidade de tênis de basquete vendidos (também em milhares de unidades). O objetivo é encontrar os valores de x1 e x2 que fazem a receita R ser a maior possível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de otimização de funções de duas variáveis, especificamente encontrando o ponto máximo de uma função quadrática.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que para encontrar o máximo da receita, vamos procurar os pontos onde a receita muda de crescente para decrescente. Isso acontece onde as derivadas parciais da receita em relação a x1 e x2 são iguais a zero. As derivadas parciais nos dizem como a receita muda quando variamos apenas uma das variáveis.

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de R em relação a x1. Isso significa que tratamos x2 como uma constante e derivamos em relação a x1:
partial Rpartial x1 = -10 x1 - 2 x2 + 42
Da mesma forma, calculamos a derivada parcial de R em relação a x2:
partial Rpartial x2 = -16 x2 - 2 x1 + 102

Passo 4

Agora, para encontrar os pontos críticos (onde a receita pode ser máxima), igualamos essas derivadas a zero:
-10 x1 - 2 x2 + 42 = 0
-2 x1 - 16 x2 + 102 = 0
Isso nos dá um sistema de duas equações com duas incógnitas que precisamos resolver para encontrar x1 e x2.

Passo 5

Vamos resolver o sistema de equações. Podemos reescrever as equações para facilitar:
  1. $ -10 x_{1} - 2 x_{2} = -42 $
  2. $ -2 x_{1} - 16 x_{2} = -102 $
Podemos multiplicar a segunda equação por 5 para facilitar a eliminação de -10 x1 - 2 x2 = -42 :
  1. $ -10 x_{1} - 2 x_{2} = -42 $
  2. $ -10 x_{1} - 80 x_{2} = -510 $
Agora, subtraímos a primeira equação da segunda:
-2 x1 - 16 x2 = -102
x1
-10 x1 - 2 x2 = -42

Passo 6

Agora que encontramos x2 = 6, substituímos esse valor em uma das equações originais para encontrar x1. Vamos usar a primeira equação:
-10 x1 - 2(6) = -42
-10 x1 - 12 = -42
-10 x1 = -42 + 12
-10 x1 = -30
x1 = -30-10 = 3

Resposta

Os valores que maximizam a receita são x1 = 3 (milhares de tênis de corrida) e x2 = 6 (milhares de tênis de basquete).

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