Uma companhia fabrica dois tipos de tênis, tênis de corrida e tênis de basquete. A receita total de
unidades de T enis de corrida e
unidades de tênis de basquete é dada por
, onde
e
são dados em milhares de unidades. Encontre
e
que maximizam a receita.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma empresa que fabrica dois tipos de tênis: de corrida e de basquete. A receita total da venda desses tênis é dada pela fórmula:
Aqui,
representa a quantidade de tênis de corrida vendidos (em milhares de unidades) e
representa a quantidade de tênis de basquete vendidos (também em milhares de unidades). O objetivo é encontrar os valores de
e
que fazem a receita
ser a maior possível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de otimização de funções de duas variáveis, especificamente encontrando o ponto máximo de uma função quadrática.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que para encontrar o máximo da receita, vamos procurar os pontos onde a receita muda de crescente para decrescente. Isso acontece onde as derivadas parciais da receita em relação a
e
são iguais a zero. As derivadas parciais nos dizem como a receita muda quando variamos apenas uma das variáveis.
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Isso significa que tratamos
como uma constante e derivamos em relação a
:
Da mesma forma, calculamos a derivada parcial de
em relação a
:
Passo 4
Agora, para encontrar os pontos críticos (onde a receita pode ser máxima), igualamos essas derivadas a zero:
Isso nos dá um sistema de duas equações com duas incógnitas que precisamos resolver para encontrar
e
.
Passo 5
Vamos resolver o sistema de equações. Podemos reescrever as equações para facilitar:
- $ -10 x_{1} - 2 x_{2} = -42 $
- $ -2 x_{1} - 16 x_{2} = -102 $
Podemos multiplicar a segunda equação por 5 para facilitar a eliminação de
:
- $ -10 x_{1} - 2 x_{2} = -42 $
- $ -10 x_{1} - 80 x_{2} = -510 $
Agora, subtraímos a primeira equação da segunda:
Passo 6
Agora que encontramos
, substituímos esse valor em uma das equações originais para encontrar
. Vamos usar a primeira equação:
Resposta
Os valores que maximizam a receita são
(milhares de tênis de corrida) e
(milhares de tênis de basquete).