Nos itens abaixo, calcule as integrais iteradas.
integral0^1 integral1^2 x y e^x d y d x

Passo 1

O enunciado pede pra calcular a integral iterada integral0^1 integral1^2 x y e^x ,dy,dx. O conteúdo aqui é integração iterada, ou seja, a gente vai integrar em y primeiro (tratando x como constante) e depois em x.

Passo 2

Primeiro, fazemos a integral interna em y, considerando x constante. Temos:
integral1^2 x y e^x ,dy = x e^x integral1^2 y ,dy = x e^x [ y^22 ]1^2 = x e^x cdot 32

Passo 3

Agora substituímos esse resultado na integral externa em x:
integral0^1 32 x e^x ,dx = 32 integral0^1 x e^x ,dx

Passo 4

Para calcular integral0^1 x e^x ,dx, usamos integração por partes. Seja u = x e dv = e^x dx. Então du = dx e v = e^x. Assim:
integral x e^x ,dx = x e^x - integral e^x ,dx = x e^x - e^x + C = e^x (x-1) + C

Passo 5

Agora avaliamos de 0 a 1:
[ e^x (x-1) ]0^1 = e^1 (1-1) - e^0 (0-1) = 0 - (-1) = 1

Passo 6

Logo, a integral externa fica 32 times 1 = 32.

Resposta

tfrac32

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