Determine o volume do sólido limitado pelo paraboloide
e pelos planos
e
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido limitado pela superfície paraboloide
, pelo plano inferior
e pelas faces verticais
,
e
. O conteúdo usado será o cálculo de volume via integral dupla de (topo – base) sobre o domínio
no plano
.
Passo 2
O domínio
projetado no plano
é dado por
Passo 3
O volume é
Passo 4
Vamos separar em três integrais:
-
integral duplaD1,dx,dy=área(D)=l(1-(-1)r)times(4-0)=2times4=8 á -
integral duplaDx^2,dx,dy=integral-1^1x^2,dxintegral0^4dy=l[tfracx^33r]-1^1times4=tfrac23times4=tfrac83 -
integral duplaD(y-2)^2,dx,dy=integral-1^1dxintegral0^4(y-2)^2,dy=2timesl[tfrac(y-2)^33r]0^4=2timestfrac163=tfrac323
Passo 5
Somando tudo, temos: