Determine o volume do sólido limitado pelo paraboloide z=2+x^2+(y-2)^2 e pelos planos z=1, x= pm 1, y=0 e y=4.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido limitado pela superfície paraboloide z=2+x^2+(y-2)^2, pelo plano inferior z=1 e pelas faces verticais x=pm1, y=0 e y=4. O conteúdo usado será o cálculo de volume via integral dupla de (topo – base) sobre o domínio D no plano xy.

Passo 2

O domínio D projetado no plano xy é dado por
D=(x,y)mid -1<= x<=1,;0<= y<=4

Passo 3

O volume é
V=integral duplaDl[underbrace(2+x^2+(y-2)^2)paraboloide-underbrace1planor],dA=integral duplaDl[1+x^2+(y-2)^2r],dx,dy

Passo 4

Vamos separar em três integrais:
  1. integral duplaD1,dx,dy=área(D)=l(1-(-1)r)times(4-0)=2times4=8á
  2. integral duplaDx^2,dx,dy=integral-1^1x^2,dxintegral0^4dy=l[tfracx^33r]-1^1times4=tfrac23times4=tfrac83
  3. integral duplaD(y-2)^2,dx,dy=integral-1^1dxintegral0^4(y-2)^2,dy=2timesl[tfrac(y-2)^33r]0^4=2timestfrac163=tfrac323

Passo 5

Somando tudo, temos:
V=8+tfrac83+tfrac323=8+tfrac403=tfrac24+403=tfrac643

Resposta

V=tfrac643

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