Calcule o diferencial total de f(x, y)=\ln (x)+y^{2}.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do diferencial total da função
f(x,y)=\ln(x)+y^{2}.
O conteúdo envolve derivadas parciais e a definição de diferencial total. Precisamos encontrar \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y}.

Passo 2

Calcular a derivada parcial de f em relação a x. Como
\frac{\partial}{\partial x}\ln(x)=\frac{1}{x}
e y^{2} é tratado como constante em relação a x, obtemos
f_{x}(x,y)=\frac{1}{x}.

Passo 3

Calcular a derivada parcial de f em relação a y. Como
\frac{\partial}{\partial y}y^{2}=2y
e \ln(x) é constante em relação a y, temos
f_{y}(x,y)=2y.

Passo 4

Aplicar a fórmula do diferencial total:
\mathrm{d}f = f_{x}(x,y)\,\mathrm{d}x \;+\; f_{y}(x,y)\,\mathrm{d}y.
Substituindo as derivadas parciais calculadas, resulta
\mathrm{d}f = \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x + 2y\,\mathrm{d}y.

Resposta

\mathrm{d}f = \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x + 2y\,\mathrm{d}y.

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