Resolva o problema de otimização: maximize \pi(\mathrm{x}, \mathrm{y})=20 \mathrm{x}+30 \mathrm{y}-2 \mathrm{x}^{2}-\mathrm{y}^{2} sujeito a \mathrm{x}+\mathrm{y}=10.

Passo 1

O enunciado pede para maximizar a função de duas variáveis
\pi(x,y)=20x+30y-2x^{2}-y^{2}
sob a restrição linear
x+y=10.
Este é um problema de otimização com restrição de igualdade. Como a restrição é simples, vamos usar o método de substituição.

Passo 2

Da restrição \,x+y=10, isolamos
y=10-x
e substituímos na função objetivo para ficar só em função de x. Assim,
\pi(x)=20x+30(10-x)-2x^{2}-(10-x)^{2}.
Fazendo as contas,
\pi(x)=300-10x-2x^{2}-\bigl(100-20x+x^{2}\bigr) =-3x^{2}+10x+200.

Passo 3

Note que \pi(x)=-3x^{2}+10x+200 é uma parábola côncava (coeficiente de x^2 negativo). Seu máximo ocorre no vértice, que encontramos derivando em relação a x:
\pi'(x)=-6x+10.

Passo 4

Igualamos a derivada a zero para achar o ponto crítico:
-6x+10=0 \quad\Longrightarrow\quad x=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}.

Passo 5

Daí vem
y=10-x=10-\frac{5}{3}=\frac{25}{3}.
Para obter o valor máximo \pi^*, calculamos
\pi\!\Bigl(\tfrac{5}{3},\tfrac{25}{3}\Bigr) =-3\Bigl(\tfrac{5}{3}\Bigr)^{2}+10\Bigl(\tfrac{5}{3}\Bigr)+200 =\frac{625}{3}.

Resposta

x^*=\tfrac{5}{3},\quad y^*=\tfrac{25}{3},\quad \pi_{\max}=\tfrac{625}{3}.

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