Calcule, quando existirem, justificando as respostas, os seguintes limites:
lim x 0 x^2 cos (e^1x)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto0 x^2cosl(e^1/xr)
usando teoria de limites de funções reais. Vamos precisar do fato de que a função cosseno é limitada e do Teorema do Confronto (ou Squeeze Theorem).

Passo 2

Observamos que, para todo xneq0, vale
-1 ;<=;cosl(e^1/xr);<=;1,
pois cos de qualquer número está sempre entre -1 e 1.

Passo 3

Multiplicando essa desigualdade por x^2, que é não negativa, obtemos
-,x^2 ;<=;x^2cosl(e^1/xr);<=;x^2

Passo 4

Agora calculamos os limites das funções que estão nos extremos do confronto:
limxto0(-,x^2)=0, limxto0x^2=0

Passo 5

Pelo Teorema do Confronto, como
-,x^2<= x^2cosl(e^1/xr)<= x^2
e ambos os limites das funções extremas valem 0, segue que
limxto0x^2cosl(e^1/xr)=0

Resposta

0

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