1.7 Sobre regra da cadeia

(a) dado z(x, y)=x^2+y^2-4, x(t)=t^2, y(t)=t^3, calcule zt

Passo 1

O enunciado nos dá a função de duas variáveis
z(x,y)=x^2+y^2-4
e as funções
x(t)=t^2, y(t)=t^3,
e pede a derivada de z em relação a t, ou seja zt.
O conteúdo aqui é a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Vamos primeiro calcular as derivadas parciais de z em relação a x e a y.
Como
z(x,y)=x^2+y^2-4,
temos
partial zpartial x=2x,
partial zpartial y=2y

Passo 3

Agora calculamos as derivadas de x(t) e y(t) em relação a t:
dxdt=2t,
dydt=3t^2

Passo 4

Pela regra da cadeia para funções de várias variáveis:
zt=dzdt =partial zpartial x,dxdt +partial zpartial y,dydt
Substituindo as derivadas parciais e as derivadas de x(t), y(t):
zt =(2x),(2t)+(2y),(3t^2) =4xt+6yt^2
Finalmente, usamos x=t^2 e y=t^3:
zt=4(t^2),t+6(t^3),t^2 =4t^3+6t^5

Resposta

zt=4t^3+6t^5

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