Calcule o diferencial total das seguintes funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
de duas variáveis e pede o diferencial total dela. Informações fornecidas:
- A função é
. - A pergunta é: calcular o diferencial total de
.
Passo 2
Definição e ideia do que é o diferencial total. Para uma função
com derivadas parciais existentes, o diferencial total
é a melhor aproximação linear de
para pequenos incrementos
e
. A fórmula geral é
onde:
-
é a derivada parcial de em relação a (mantendo constante); -
é a derivada parcial de em relação a (mantendo constante); -
e representam pequenos incrementos em e , respectivamente; -
é a variação linear aproximada de correspondente a esses incrementos.
Passo 3
Explicação do que é derivada parcial e como calculá-la na prática. A derivada parcial de
em relação a
é obtida derivando-se
como se
fosse uma constante. Analogamente, a derivada parcial em relação a
é obtida derivando-se
como se
fosse uma constante. Vou calcular
e
usando essa regra.
Passo 4
Calcular
(derivada parcial em relação a
).
- Começo com
. - Derivando termo a termo em relação a
, tratando como constante: - A derivada de
em relação a é (pois é constante e , logo ). - A derivada de
em relação a é (porque não contém ).
Portanto
- A derivada de
Passo 5
Calcular
(derivada parcial em relação a
).
- Partindo de
. - Derivando termo a termo em relação a
, tratando como constante: - A derivada de
em relação a é (pois é constante e , logo ). - A derivada de
em relação a é (regra da potência).
Portanto
- A derivada de
Passo 6
Como usar os resultados anteriores com a fórmula do diferencial total. Substitui-se
e
na fórmula genérica
. Em prova, faça isso cuidadosamente e lembre-se do significado de
e
: são os pequenos incrementos de
e
.
Passo 7
Exemplo numérico para ganhar intuição (opcional, só para praticar).
- Considere o ponto
e pequenos incrementos . - Primeiro calcule
e . - A aproximação linear dá
.
Isto significa que, para esses pequenos incrementos, a função deve diminuir aproximadamente.