Calcule o diferencial total das seguintes funções:
f(x, y)=x y+y^{2}

Passo 1

O enunciado dá a função f de duas variáveis e pede o diferencial total dela. Informações fornecidas:
  • A função é f(x,y)=x y+y^{2}.
  • A pergunta é: calcular o diferencial total de f.

Passo 2

Definição e ideia do que é o diferencial total. Para uma função f(x,y) com derivadas parciais existentes, o diferencial total df é a melhor aproximação linear de \Delta f para pequenos incrementos dx e dy. A fórmula geral é
df = f_x\,dx + f_y\,dy,
onde:
  • f_x é a derivada parcial de f em relação a x (mantendo y constante);
  • f_y é a derivada parcial de f em relação a y (mantendo x constante);
  • dx e dy representam pequenos incrementos em x e y, respectivamente;
  • df é a variação linear aproximada de f correspondente a esses incrementos.

Passo 3

Explicação do que é derivada parcial e como calculá-la na prática. A derivada parcial de f em relação a x é obtida derivando-se f como se y fosse uma constante. Analogamente, a derivada parcial em relação a y é obtida derivando-se f como se x fosse uma constante. Vou calcular f_x e f_y usando essa regra.

Passo 4

Calcular f_x (derivada parcial em relação a x).
  • Começo com f(x,y)=x y+y^{2}.
  • Derivando termo a termo em relação a x, tratando y como constante:
    • A derivada de x y em relação a x é y (pois y é constante e \dfrac{d}{dx}(x)=1, logo \dfrac{d}{dx}(x y)=y).
    • A derivada de y^{2} em relação a x é 0 (porque não contém x).
      Portanto
f_x = y.

Passo 5

Calcular f_y (derivada parcial em relação a y).
  • Partindo de f(x,y)=x y+y^{2}.
  • Derivando termo a termo em relação a y, tratando x como constante:
    • A derivada de x y em relação a y é x (pois x é constante e \dfrac{d}{dy}(y)=1, logo \dfrac{d}{dy}(x y)=x).
    • A derivada de y^{2} em relação a y é 2y (regra da potência).
      Portanto
f_y = x + 2y.

Passo 6

Como usar os resultados anteriores com a fórmula do diferencial total. Substitui-se f_x e f_y na fórmula genérica \,df = f_x\,dx + f_y\,dy\,. Em prova, faça isso cuidadosamente e lembre-se do significado de dx e dy: são os pequenos incrementos de x e y.

Passo 7

Exemplo numérico para ganhar intuição (opcional, só para praticar).
  • Considere o ponto (x,y)=(1,2) e pequenos incrementos \,dx=0{,}01\,,\;dy=-0{,}02.
  • Primeiro calcule f_x(1,2)=2 e f_y(1,2)=1+2\cdot2=5.
  • A aproximação linear dá df \approx 2\cdot 0{,}01 + 5\cdot(-0{,}02)=0{,}02-0{,}10=-0{,}08.
    Isto significa que, para esses pequenos incrementos, a função deve diminuir aproximadamente 0{,}08.

Resposta

df = y\,dx + (x+2y)\,dy

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