Sendo f(x, y)=x^{2}+y^{2}, calcule a derivada direcional de f no ponto P=(1,2), nas seguintes direções:
Na direção do vetor v=(-3,4);

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{2}+y^{2}, o ponto P=(1,2) e o vetor de direção v=(-3,4). A pergunta é: calcular a derivada direcional de f em P na direção do vetor v.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função: f(x,y)=x^{2}+y^{2}.
  • O ponto onde se quer a derivada direcional: P=(1,2).
  • O vetor de direção (não necessariamente unitário): v=(-3,4).

Passo 2

O que é a derivada direcional? Vou explicar devagarinho e com exemplos curtinhos.
Definição (intuitiva): a derivada direcional de f em P na direção de um vetor unitário u mede a taxa de variação instantânea de f quando nos deslocamos a partir de P numa pequena distância ao longo da direção de u.
Definição formal (por limite): para um vetor unitário u,
D_{u}f(P)=\lim_{h\to 0}\frac{f(P+h\,u)-f(P)}{h}.
Aqui:
  • h é um pequeno escalar (passo).
  • u é o vetor unitário que indica direção.
  • P+h\,u é o ponto que fica a distância h de P ao longo de u.
Importante: a definição pede o vetor unitário u. Se você tem um vetor v que não é unitário (como aqui), primeiro normaliza para obter u=\dfrac{v}{\|v\|}. Por que? Porque queremos medir a variação por unidade de comprimento na direção dada.
Existe uma forma prática muito usada em cálculo vetorial: se f é diferenciável, então a derivada direcional em u é o produto escalar entre o gradiente de f em P e o vetor u:
D_{u}f(P)=\nabla f(P)\cdot u.
Vou explicar o que é cada coisa e por que isso funciona nas próximas etapas.

Passo 3

Como estamos dados o vetor v=(-3,4) que não é unitário, vamos normalizar.
Calcular a norma (comprimento) de v:
\|v\|=\sqrt{(-3)^{2}+4^{2}}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5.
Então o vetor unitário na direção de v é
u=\frac{v}{\|v\|}=\left(\frac{-3}{5},\frac{4}{5}\right).
Observação curta e prática: sempre que o enunciado der um vetor de direção, faça essa divisão por \|v\| antes de aplicar a fórmula do gradiente.

Passo 4

Agora precisamos do gradiente de f. O gradiente é um vetor que reúne as derivadas parciais de f. Para uma função f(x,y),
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right).
Cada componente diz a taxa de variação de f ao variar só uma coordenada (mantendo a outra fixa).
Para f(x,y)=x^{2}+y^{2} as derivadas parciais são:
\frac{\partial f}{\partial x}=2x, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=2y.
Logo o gradiente é
\label{grad} \nabla f(x,y)=(2x,2y).
Agora avalio o gradiente no ponto P=(1,2):
\nabla f(P)=\nabla f(1,2)=(2\cdot 1,\,2\cdot 2)=(2,4).

Passo 5

Usando a fórmula prática da derivada direcional,
D_{u}f(P)=\nabla f(P)\cdot u.
Substituo \nabla f(P)=(2,4) e u=\left(\dfrac{-3}{5},\dfrac{4}{5}\right):
Calcule o produto escalar componente a componente:
\nabla f(P)\cdot u = 2\cdot\left(\frac{-3}{5}\right) + 4\cdot\left(\frac{4}{5}\right).
Faço as contas passo a passo:
2\cdot\left(\frac{-3}{5}\right)=\frac{-6}{5}, \qquad 4\cdot\left(\frac{4}{5}\right)=\frac{16}{5}.
Somando:
\frac{-6}{5}+\frac{16}{5}=\frac{10}{5}=2.
Portanto a derivada direcional é 2.

Passo 6

Interpretação rápida (sem formalidade pesada): essa resposta significa que, ao partir do ponto P=(1,2) e andar uma unidade na direção de (-3,4) (após normalizar), a função f cresce à razão de 2 por unidade de comprimento nessa direção. Se você caminhar uma pequena distância h nessa direção, o aumento aproximado de f será 2h.
Dica para a prova: memorização prática
  • Normaliza o vetor de direção.
  • Calcula \nabla f.
  • Faz o produto escalar \nabla f(P)\cdot u.
    Se quiser, dá para checar usando a definição por limite; o resultado coincide (isso é teoria que já garante a equivalência quando f é diferenciável).

Resposta

2

Exercícios relacionados