Sendo
, calcule a derivada direcional de
no ponto
, nas seguintes direções:
Na direção do vetor
;
Na direção do vetor
Passo 1
O enunciado dá a função
, o ponto
e o vetor de direção
. A pergunta é: calcular a derivada direcional de
em
na direção do vetor
.
Informações relevantes fornecidas:
- A função:
. - O ponto onde se quer a derivada direcional:
. - O vetor de direção (não necessariamente unitário):
.
Passo 2
O que é a derivada direcional? Vou explicar devagarinho e com exemplos curtinhos.
Definição (intuitiva): a derivada direcional de
em
na direção de um vetor unitário
mede a taxa de variação instantânea de
quando nos deslocamos a partir de
numa pequena distância ao longo da direção de
.
Definição formal (por limite): para um vetor unitário
,
Aqui:
-
é um pequeno escalar (passo). -
é o vetor unitário que indica direção. -
é o ponto que fica a distância de ao longo de .
Importante: a definição pede o vetor unitário
. Se você tem um vetor
que não é unitário (como aqui), primeiro normaliza para obter
. Por que? Porque queremos medir a variação por unidade de comprimento na direção dada.
Existe uma forma prática muito usada em cálculo vetorial: se
é diferenciável, então a derivada direcional em
é o produto escalar entre o gradiente de
em
e o vetor
:
Vou explicar o que é cada coisa e por que isso funciona nas próximas etapas.
Passo 3
Como estamos dados o vetor
que não é unitário, vamos normalizar.
Calcular a norma (comprimento) de
:
Então o vetor unitário na direção de
é
Observação curta e prática: sempre que o enunciado der um vetor de direção, faça essa divisão por
antes de aplicar a fórmula do gradiente.
Passo 4
Agora precisamos do gradiente de
. O gradiente é um vetor que reúne as derivadas parciais de
. Para uma função
,
Cada componente diz a taxa de variação de
ao variar só uma coordenada (mantendo a outra fixa).
Para
as derivadas parciais são:
Logo o gradiente é
Agora avalio o gradiente no ponto
:
Passo 5
Usando a fórmula prática da derivada direcional,
Substituo
e
:
Calcule o produto escalar componente a componente:
Faço as contas passo a passo:
Somando:
Portanto a derivada direcional é
.
Passo 6
Interpretação rápida (sem formalidade pesada): essa resposta significa que, ao partir do ponto
e andar uma unidade na direção de
(após normalizar), a função
cresce à razão de
por unidade de comprimento nessa direção. Se você caminhar uma pequena distância
nessa direção, o aumento aproximado de
será
.
Dica para a prova: memorização prática
- Normaliza o vetor de direção.
- Calcula
. - Faz o produto escalar
.
Se quiser, dá para checar usando a definição por limite; o resultado coincide (isso é teoria que já garante a equivalência quandoé diferenciável).