Calcule a diferencial
w=e^2 x+2 y-z^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para calcular a diferencial da função $ w = e^{2x + 2y - z^{2}} $. Aqui, estamos trabalhando com derivadas parciais e diferenciais, que são partes importantes do cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas de funções exponenciais e lidar com cada variável separadamente.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a diferencial $ dw $ de uma função $ w $ depende das variações de cada variável independente, ou seja, $ dx $, $ dy $ e $ dz $. A fórmula geral para a diferencial de $ w $ é:
dw

Passo 3

Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais. Começamos com $ \frac{\partial w}{\partial x} $. A função $ w $ é $ e^{2x + 2y - z^{2}} $, então a derivada em relação a $ x $ é:
partial wpartial x
Aqui, usamos a regra da cadeia: derivamos o expoente $ 2x $ em relação a $ x $ que dá 2, e multiplicamos pela função original.

Passo 4

Vamos para a derivada em relação a $ y $, $ \frac{\partial w}{\partial y} $. De forma semelhante:
y
Também aplicamos a regra da cadeia aqui, derivando $ 2y $ em relação a $ y $ que dá 2.

Passo 5

Por último, calculamos a derivada em relação a $ z $, $ \frac{\partial w}{\partial z} $:
z
Aqui, derivamos o termo $ -z^{2} $ em relação a $ z $, que resulta em $ -2z $.

Passo 6

Agora, juntamos todas essas derivadas parciais na fórmula da diferencial:
dw = 2e^2x + 2y - z^2 dx + 2e^2x + 2y - z^2 dy - 2z e^2x + 2y - z^2 dz
Podemos até mesmo fatorar $ 2e^{2x + 2y - z^{2}} $ para simplificar um pouco:
2e^2x + 2y - z^2

Resposta

A diferencial da função é
dw = 2e^2x + 2y - z^2, dx + 2e^2x + 2y - z^2, dy - 2z e^2x + 2y - z^2, dz

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