Calcule a diferencial
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para calcular a diferencial da função $ w = e^{2x + 2y - z^{2}} $. Aqui, estamos trabalhando com derivadas parciais e diferenciais, que são partes importantes do cálculo multivariável. Para resolver isso, vamos precisar saber como calcular derivadas de funções exponenciais e lidar com cada variável separadamente.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a diferencial $ dw $ de uma função $ w $ depende das variações de cada variável independente, ou seja, $ dx $, $ dy $ e $ dz $. A fórmula geral para a diferencial de $ w $ é:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais. Começamos com $ \frac{\partial w}{\partial x} $. A função $ w $ é $ e^{2x + 2y - z^{2}} $, então a derivada em relação a $ x $ é:
Aqui, usamos a regra da cadeia: derivamos o expoente $ 2x $ em relação a $ x $ que dá 2, e multiplicamos pela função original.
Passo 4
Vamos para a derivada em relação a $ y $, $ \frac{\partial w}{\partial y} $. De forma semelhante:
Também aplicamos a regra da cadeia aqui, derivando $ 2y $ em relação a $ y $ que dá 2.
Passo 5
Por último, calculamos a derivada em relação a $ z $, $ \frac{\partial w}{\partial z} $:
Aqui, derivamos o termo $ -z^{2} $ em relação a $ z $, que resulta em $ -2z $.
Passo 6
Agora, juntamos todas essas derivadas parciais na fórmula da diferencial:
Podemos até mesmo fatorar $ 2e^{2x + 2y - z^{2}} $ para simplificar um pouco:
Resposta
A diferencial da função é