Mostre que g(x, y)=ccc(x^2+y^2) sin (1x^2+y^2) & , (x, y) & neq 0 & (0,0) , & (x, y) & =(0,0) é diferenciável em (0,0), mas não é de classe C^1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que a função $ g(x, y) $ é diferenciável no ponto $ (0,0) $, mas que ela não é da classe $ C^{1} $. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo como diferenciabilidade, derivadas parciais e continuidade. Vamos precisar verificar a definição de diferenciabilidade e analisar as derivadas parciais da função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função dada:
g(x, y) = (x^2 + y^2) sin(1x^2 + y^2) & se (x, y) neq (0,0) 0 & se (x, y) = (0,0)
Queremos verificar se $ g $ é diferenciável em $ (0,0) $. Para isso, precisamos usar a definição de diferenciabilidade que envolve as derivadas parciais e o comportamento da função perto de $ (0,0) $.

Passo 3

Vamos começar calculando as derivadas parciais de $ g $ em $ (0,0) $. As derivadas parciais são os limites:
g
(0,0)
Vamos calcular cada uma delas.

Passo 4

Calculando $ \frac{\partial g}{\partial x}(0,0) $:
partial gpartial x(0,0)
Portanto,
g(h,0) = h^2 sin(1h^2)
Sabemos que $ |\sin(\cdot)| \leq 1 $, então:
partial gpartial x(0,0) = limh to 0 h^2 sin(1h^2) - 0h = limh to 0 h sin(1h^2)
Assim, pelo teorema do sanduíche, o limite é 0. Logo, $ \frac{\partial g}{\partial x}(0,0) = 0 $.

Passo 5

Analogamente, calculando $ \frac{\partial g}{\partial y}(0,0) $:
partial gpartial y(0,0)
Então,
g(0,k) = k^2 sin(1k^2)
Da mesma forma que antes,
partial gpartial y(0,0) = limk to 0 k^2 sin(1k^2) - 0k = limk to 0 k sin(1k^2)
Portanto, o limite também é 0. Assim, $ \frac{\partial g}{\partial y}(0,0) = 0 $.

Passo 6

Com as derivadas parciais em mãos, vamos verificar a diferenciabilidade. A função $ g $ é diferenciável em $ (0,0) $ se:
g
Como $ g(0,0) = 0 $ e as derivadas parciais são 0, a expressão simplifica para:
(0,0)

Passo 7

Substituindo $ g(h,k) $:
g(h,k)
Novamente, sabemos que $ |\sin(\cdot)| \leq 1 $, então:
g(h,k)raizh^2 + k^2 = (h^2 + k^2) sin(1h^2 + k^2)raizh^2 + k^2 = raizh^2 + k^2 sin(1h^2 + k^2)
À medida que $ (h,k) \to (0,0) $, $ \sqrt{h^{2} + k^{2}} \to 0 $. Assim, pelo teorema do sanduíche, o limite é 0.

Passo 8

Portanto, a função $ g(x, y) $ é diferenciável em $ (0,0) $, e suas derivadas parciais nesse ponto são 0.

Passo 9

Agora, vamos mostrar que $ g $ não é de classe $ C^{1} $ em $ (0,0) $. Isso significa que as derivadas parciais de $ g $ não são contínuas em $ (0,0) $.
Vamos analisar, por exemplo, a derivada parcial $ \frac{\partial g}{\partial x} $ próximo a $ (0,0) $.

Passo 10

Para $ (x, y) \neq (0,0) $, calculamos $ \frac{\partial g}{\partial x} $:
(x, y) neq (0,0)
Observamos o termo $ \frac{2x}{x^{2} + y^{2}} \cos\left(\frac{1}{x^{2} + y^{2}}\right) $. Conforme $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $, esse termo pode oscilar muito devido ao $ \cos $ e o denominador $ x^{2} + y^{2} $ ficar muito pequeno, fazendo com que a derivada parcial não se aproxime de 0 de forma contínua.

Passo 11

De fato, podemos avaliar o limite de $ \frac{\partial g}{\partial x}(x,0) $ quando $ x \to 0 $:
partial gpartial x(x,0)
O termo $ 2x \sin\left(\frac{1}{x^{2}}\right) $ tende a 0, mas $ -2 \cos\left(\frac{1}{x^{2}}\right) $ oscila entre -2 e 2 sem se aproximar de um único valor. Assim, o limite não existe, indicando que a derivada parcial $ \frac{\partial g}{\partial x} $ não é contínua em $ (0,0) $.

Resposta

Portanto, a função $ g(x, y) $ é diferenciável em $ (0,0) $, mas não é de classe $ C^{1} $ nesse ponto.

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