Mostre que é diferenciável em (0,0), mas não é de classe C^1.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para mostrar que a função $ g(x, y) $ é diferenciável no ponto $ (0,0) $, mas que ela não é da classe $ C^{1} $. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo como diferenciabilidade, derivadas parciais e continuidade. Vamos precisar verificar a definição de diferenciabilidade e analisar as derivadas parciais da função.
Queremos verificar se $ g $ é diferenciável em $ (0,0) $. Para isso, precisamos usar a definição de diferenciabilidade que envolve as derivadas parciais e o comportamento da função perto de $ (0,0) $.
Passo 3
Vamos começar calculando as derivadas parciais de $ g $ em $ (0,0) $. As derivadas parciais são os limites:
À medida que $ (h,k) \to (0,0) $, $ \sqrt{h^{2} + k^{2}} \to 0 $. Assim, pelo teorema do sanduíche, o limite é 0.
Passo 8
Portanto, a função $ g(x, y) $ é diferenciável em $ (0,0) $, e suas derivadas parciais nesse ponto são 0.
Passo 9
Agora, vamos mostrar que $ g $ não é de classe $ C^{1} $ em $ (0,0) $. Isso significa que as derivadas parciais de $ g $ não são contínuas em $ (0,0) $.
Vamos analisar, por exemplo, a derivada parcial $ \frac{\partial g}{\partial x} $ próximo a $ (0,0) $.
Observamos o termo $ \frac{2x}{x^{2} + y^{2}} \cos\left(\frac{1}{x^{2} + y^{2}}\right) $. Conforme $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $, esse termo pode oscilar muito devido ao $ \cos $ e o denominador $ x^{2} + y^{2} $ ficar muito pequeno, fazendo com que a derivada parcial não se aproxime de 0 de forma contínua.
Passo 11
De fato, podemos avaliar o limite de $ \frac{\partial g}{\partial x}(x,0) $ quando $ x \to 0 $:
partial gpartial x(x,0)
O termo $ 2x \sin\left(\frac{1}{x^{2}}\right) $ tende a 0, mas $ -2 \cos\left(\frac{1}{x^{2}}\right) $ oscila entre -2 e 2 sem se aproximar de um único valor. Assim, o limite não existe, indicando que a derivada parcial $ \frac{\partial g}{\partial x} $ não é contínua em $ (0,0) $.
Resposta
Portanto, a função $ g(x, y) $ é diferenciável em $ (0,0) $, mas não é de classe $ C^{1} $ nesse ponto.