Calcule lim x 0^+ ln (cos x)x^2

Passo 1

Aqui, a gente precisa calcular o limite de ln(cos x)x^2 quando x se aproxima de 0 pela direita. Vamos usar conceitos de limites e séries de Taylor para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como a função cos x se comporta perto de x = 0. Usamos a série de Taylor para aproximar cos x:
cos x = 1 - x^22 + x^424 - dots

Passo 3

Agora, vamos aplicar o logaritmo natural nessa aproximação:
ln(cos x) = ln(1 - x^22 + dots)

Passo 4

Para valores pequenos de x, podemos usar a expansão do logaritmo natural:
ln(1 + y) approx y - y^22 + dots quando y é próximo de 0 éó
Aqui, y = -x^22 + dots

Passo 5

Substituindo y na aproximação do logaritmo:
ln(cos x) approx -x^22 - 12(-x^22)^2 + dots = -x^22 - x^48 + dots

Passo 6

Agora, vamos dividir ln(cos x) por x^2:
ln(cos x)x^2 approx -x^22 - x^48 + dotsx^2 = -12 - x^28 + dots

Passo 7

Quando x tende a 0, os termos com x^2 desaparecem, então o limite fica:
- 12

Resposta

O limite é - 12

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