Calcule as integrais.
Dica:
Dica:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de $ 7 \cos^{3} x \sin^{2} x , dx $. Esse problema está na área de Cálculo, mais especificamente em integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos utilizar algumas identidades trigonométricas e técnicas de integração básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da identidade trigonométrica que foi dada na dica: $ \cos^{2} x + \sin^{2} x = 1 $. Isso é útil para simplificar a expressão que está dentro da integral. A ideia é expressar $ \sin^{2} x $ em termos de $ \cos^{2} x $, assim facilitando a integração.
Passo 3
A gente pode reescrever $ \sin^{2} x $ da seguinte forma:
Substituindo isso na integral original, temos:
Passo 4
Vamos distribuir o $ \cos^{3} x $ dentro do parêntese:
Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos separar a integral em duas partes:
Fatores como o 7 podem ser colocados fora da integral:
Passo 6
Para integrar potências ímpares de cosseno, usamos a substituição $ u = \sin x $, porque a derivada de $ \sin x $ é $ \cos x $, que já está presente na expressão.
Vamos começar com $ \int \cos^{3} x , dx $:
Então:
Substituindo $ u = \sin x $, $ du = \cos x , dx $:
Passo 7
Agora, vamos fazer o mesmo para $ \int \cos^{5} x , dx $:
Então:
Substituindo $ u = \sin x $, $ du = \cos x , dx $:
Substituindo de volta $ u = \sin x $:
Passo 8
Agora, juntando tudo de volta na integral original:
Distribuindo o 7:
Resposta
Simplificando os termos, temos:
Então, a integral de $ 7 \cos^{3} x \sin^{2} x , dx $ é: