Calcule as integrais.
integral 7 cos ^3 x sen^2 x d x
Dica: cos ^2 x+sen^2 x=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de $ 7 \cos^{3} x \sin^{2} x , dx $. Esse problema está na área de Cálculo, mais especificamente em integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver isso, vamos utilizar algumas identidades trigonométricas e técnicas de integração básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da identidade trigonométrica que foi dada na dica: $ \cos^{2} x + \sin^{2} x = 1 $. Isso é útil para simplificar a expressão que está dentro da integral. A ideia é expressar $ \sin^{2} x $ em termos de $ \cos^{2} x $, assim facilitando a integração.

Passo 3

A gente pode reescrever $ \sin^{2} x $ da seguinte forma:
sin^2 x
Substituindo isso na integral original, temos:
sin^2 x = 1 - cos^2 x

Passo 4

Vamos distribuir o $ \cos^{3} x $ dentro do parêntese:
cos^3 x
Então, a integral fica:
7 cos^3 x (1 - cos^2 x) = 7 cos^3 x - 7 cos^5 x

Passo 5

Agora, vamos separar a integral em duas partes:
integral 7 cos^3 x , dx - integral 7 cos^5 x , dx
Fatores como o 7 podem ser colocados fora da integral:
7 integral cos^3 x , dx - 7 integral cos^5 x , dx

Passo 6

Para integrar potências ímpares de cosseno, usamos a substituição $ u = \sin x $, porque a derivada de $ \sin x $ é $ \cos x $, que já está presente na expressão.
Vamos começar com $ \int \cos^{3} x , dx $:
u = sin x
Então:
sin x
Substituindo $ u = \sin x $, $ du = \cos x , dx $:
cos x

Passo 7

Agora, vamos fazer o mesmo para $ \int \cos^{5} x , dx $:
integral cos^5 x , dx
Então:
cos^5 x = cos^4 x cdot cos x = (1 - sin^2 x)^2 cos x
Substituindo $ u = \sin x $, $ du = \cos x , dx $:
integral cos^5 x , dx = integral (1 - 2 sin^2 x + sin^4 x) cos x , dx
Substituindo de volta $ u = \sin x $:
u = sin x

Passo 8

Agora, juntando tudo de volta na integral original:
7 integral cos^3 x , dx - 7 integral cos^5 x , dx = 7 ( sin x - sin^3 x3 ) - 7 ( sin x - 2 sin^3 x3 + sin^5 x5 ) + C
Distribuindo o 7:
7 sin x - 73 sin^3 x - 7 sin x + 143 sin^3 x - 75 sin^5 x + C

Resposta

Simplificando os termos, temos:
73 sin^3 x - 75 sin^5 x + C
Então, a integral de $ 7 \cos^{3} x \sin^{2} x , dx $ é:
7 cos^3 x sin^2 x , dx

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