Calcule a difusividade do sistema ar-dióxido de carbono a 317.2 K e 1 atm usando as equações de:
(c) Equação de Hirschfelder et al.
Compare os resultados dos modelos com o valor experimental:
D_{\text {air-CO2 }}(317.2 \mathrm{~K})=0.177 \times 10^{-4}\left[\mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s}\right]
Dica: Considere que o ar contém 80 \% de nitrogênio e 20 \% de oxigênio.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado pede e os dados que vamos usar.
  • O pedido: calcular a difusividade do sistema ar–dióxido de carbono a \,317{,}2\\ \mathrm{K} e 1\\ \mathrm{atm} usando a equação de Hirschfelder et al. e comparar com o valor experimental informado.
  • Dados fornecidos:
    • Temperatura: T=317{,}2\\ \mathrm{K}.
    • Pressão: P=1\\ \mathrm{atm}.
    • Composição do ar (por fração molar): \,y_{\mathrm{N_2}}=0{,}80, \,y_{\mathrm{O_2}}=0{,}20.
    • Valor experimental: D_{\text{air-CO}_2}(317{,}2\\ \mathrm{K})=0{,}177\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
  • Decisões/método (não vou resolver ainda, só deixo claro): vou tratar o ar como mistura de \mathrm{N_2} e \mathrm{O_2} e calcular os coeficientes binários D_{\mathrm{N_2-CO_2}} e D_{\mathrm{O_2-CO_2}} pela equação de Hirschfelder (Chapman–Enskog prática com integral de colisão de Neufeld), e depois aplicar a regra de mistura para obter D_{\text{air-CO}_2}.
  • Constantes físicas e parâmetros usados (valores típicos de parâmetros de Lennard-Jones retirados de tabelas padrão):
    • Massas molares: \,M_{\mathrm{N_2}}=28{,}0134\\ \mathrm{g/mol}, \,M_{\mathrm{O_2}}=31{,}9988\\ \mathrm{g/mol}, \,M_{\mathrm{CO_2}}=44{,}01\\ \mathrm{g/mol}.
    • Parâmetros de Lennard-Jones (sigma em \mathrm{\AA}, \varepsilon/k em K):
      • \mathrm{N_2}:\\ \sigma=3{,}798\\ \mathrm{\AA},\\ \varepsilon/k=71{,}4\\ \mathrm{K}.
      • \mathrm{O_2}:\\ \sigma=3{,}467\\ \mathrm{\AA},\\ \varepsilon/k=106{,}7\\ \mathrm{K}.
      • \mathrm{CO_2}:\\ \sigma=3{,}996\\ \mathrm{\AA},\\ \varepsilon/k=195{,}2\\ \mathrm{K}.

Passo 2

Apresento a expressão prática de Hirschfelder et al. (forma usada em engenharia) e explico cada termo, mais a correlação de Neufeld para a integral de colisão.
  • Equação prática (resultado da teoria de Chapman–Enskog com ajuste numérico):
    D_{AB}=\frac{0{,}001858\;T^{3/2}}{P\;\sigma_{AB}^2\;\Omega_D(T^*)}\,\sqrt{\frac{1}{M_A}+\frac{1}{M_B}}
    onde:
    • D_{AB} é o coeficiente de difusão binário em \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}.
    • T é a temperatura em \mathrm{K}.
    • P é a pressão em \mathrm{atm}.
    • \sigma_{AB} é o diâmetro efetivo de colisão em \mathrm{\AA} (veja abaixo como calcular).
    • \Omega_D(T^*) é a integral de colisão adimensional (função do T^*, calculada pela correlação de Neufeld).
    • M_A e M_B são massas molares em \mathrm{g/mol}.
    • Observação sobre unidades: com essa fórmula, se usar T em K, P em atm, \sigma em \mathrm{\AA}, M em \mathrm{g/mol}, obtém-se D em \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}.
  • Como obter \sigma_{AB} e \varepsilon_{AB}: regras usuais de combinação (Lorentz–Berthelot)
    \sigma_{AB}=\frac{\sigma_A+\sigma_B}{2},\qquad \varepsilon_{AB}/k=\sqrt{\big(\varepsilon_A/k\big)\big(\varepsilon_B/k\big)}.
  • Definição do reduzido T^*:
    T^*=\frac{T}{\varepsilon_{AB}/k}.
  • Correlação de Neufeld et al. para a integral de colisão \Omega_D(T^*) (forma prática usada para difusão):
    \Omega_D(T^*)=A\,{T^*}^{-B}+C\,\exp(-D\,T^*)+E\,\exp(-F\,T^*)
    com os coeficientes (Neufeld): A=1{,}06036, B=0{,}15610, C=0{,}19300, D=0{,}47635, E=1{,}03587, F=1{,}52996.
  • Regra de mistura para tratar ar (espécie \mathrm{CO_2} diluída em mistura de \mathrm{N_2} e \mathrm{O_2}): para um soluto pouco concentrado a difusividade efetiva é dada por
    \frac{1}{D_{\text{air-CO}_2}}=\sum_{i}\frac{y_i}{D_{i-\mathrm{CO}_2}},
    onde y_i são frações molares do componente i no ar (aqui i=\mathrm{N_2},\mathrm{O_2}) e D_{i-\mathrm{CO}_2} são os coeficientes binários calculados pela equação acima.
Agora vamos calcular número a número.

Passo 3

Cálculo de D_{\mathrm{N_2-CO_2}}.
  1. Combinação de parâmetros:
\sigma_{\mathrm{N_2-CO_2}}=\frac{3{,}798+3{,}996}{2}=3{,}897\\ \mathrm{\AA}.
\varepsilon_{\mathrm{N_2-CO_2}}/k=\sqrt{71{,}4\times195{,}2}=118{,}14\\ \mathrm{K}.
  1. Temperatura reduzida:
T^*=\frac{317{,}2}{118{,}14}=2{,}685\\ (\text{adimensional}).
  1. Integral de colisão \Omega_D(T^*) via Neufeld:
\begin{aligned} \Omega_D&=1{,}06036\,(2{,}685)^{-0{,}15610}+0{,}19300\,e^{-0{,}47635\times2{,}685}+1{,}03587\,e^{-1{,}52996\times2{,}685}\\\ &\approx0{,}908+0{,}0536+0{,}0171=0{,}979\\ (\text{adimensional}). \end{aligned}
  1. Fator de massa:
\sqrt{\frac{1}{M_{\mathrm{N_2}}}+\frac{1}{M_{\mathrm{CO_2}}}} =\sqrt{\frac{1}{28{,}0134}+\frac{1}{44{,}01}} \approx\sqrt{0{,}03569+0{,}02272}=0{,}2416\\ (\mathrm{mol}^{-1/2}\,\mathrm{g}^{1/2}).
  1. Agora a equação de Hirschfelder:
D_{\mathrm{N_2-CO_2}} =\frac{0{,}001858\;T^{3/2}}{P\;\sigma^2\;\Omega_D}\, \sqrt{\frac{1}{M_{\mathrm{N_2}}}+\frac{1}{M_{\mathrm{CO_2}}}}.
Calcule T^{3/2}: T^{3/2}=317{,}2^{3/2}\approx5649.
Substituindo números:
D_{\mathrm{N_2-CO_2}} \approx\frac{0{,}001858\times5649}{1\times(3{,}897)^2\times0{,}979}\times0{,}2416 \approx0{,}1705\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}.
  1. Converter para \mathrm{m}^2/\mathrm{s}: 1\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}=10^{-4}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}, então
D_{\mathrm{N_2-CO_2}}\approx0{,}1705\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.

Passo 4

Cálculo de D_{\mathrm{O_2-CO_2}}.
  1. Combinação de parâmetros:
\sigma_{\mathrm{O_2-CO_2}}=\frac{3{,}467+3{,}996}{2}=3{,}7315\\ \mathrm{\AA}.
\varepsilon_{\mathrm{O_2-CO_2}}/k=\sqrt{106{,}7\times195{,}2}=144{,}35\\ \mathrm{K}.
  1. Temperatura reduzida:
T^*=\frac{317{,}2}{144{,}35}=2{,}198.
  1. Integral de colisão \Omega_D:
\begin{aligned} \Omega_D&=1{,}06036\,(2{,}198)^{-0{,}15610}+0{,}19300\,e^{-0{,}47635\times2{,}198}+1{,}03587\,e^{-1{,}52996\times2{,}198}\\\ &\approx0{,}9376+0{,}0677+0{,}0358=1{,}041\\ (\text{adimensional}). \end{aligned}
  1. Fator de massa:
\sqrt{\frac{1}{M_{\mathrm{O_2}}}+\frac{1}{M_{\mathrm{CO_2}}}} =\sqrt{\frac{1}{31{,}9988}+\frac{1}{44{,}01}} \approx\sqrt{0{,}03125+0{,}02272}=0{,}2323.
  1. Aplicando a fórmula:
D_{\mathrm{O_2-CO_2}} \approx\frac{0{,}001858\times5649}{1\times(3{,}7315)^2\times1{,}041}\times0{,}2323 \approx0{,}1683\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}.
  1. Em \mathrm{m}^2/\mathrm{s}:
D_{\mathrm{O_2-CO_2}}\approx0{,}1683\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.

Passo 5

Combinação para obter D_{\text{air-CO}_2} usando a regra de mistura (ar com y_{\mathrm{N_2}}=0{,}8 e y_{\mathrm{O_2}}=0{,}2):
\frac{1}{D_{\text{air-CO}_2}}=\frac{y_{\mathrm{N_2}}}{D_{\mathrm{N_2-CO_2}}}+\frac{y_{\mathrm{O_2}}}{D_{\mathrm{O_2-CO_2}}}.
Substituindo os valores em \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}:
\frac{1}{D_{\text{air-CO}_2}}=\frac{0{,}8}{0{,}1705}+\frac{0{,}2}{0{,}1683}\approx4{,}694+1{,}188=5{,}882,
portanto
D_{\text{air-CO}_2}\approx\frac{1}{5{,}882}=0{,}1700\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}.
Em unidades SI:
D_{\text{air-CO}_2}\approx0{,}1700\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}.
Cálculo do erro relativo em relação ao experimental \bigl(0{,}177\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}\bigr):
\text{erro relativo}=\frac{D_{\text{calc}}-D_{\text{exp}}}{D_{\text{exp}}}\times100\% =\frac{0{,}1700-0{,}177}{0{,}177}\times100\%\approx-3{,}95\%.
Interpretação curta: o valor calculado pela equação de Hirschfelder fica cerca de 4\% abaixo do experimental — uma concordância muito boa para um cálculo baseado em parâmetros LJ tabelados e correlação empírica da integral de colisão.

Resposta

D_{\text{air-CO}_2} (Hirschfelder) =0{,}1700\times10^{-4}\\ \mathrm{m}^2/\mathrm{s}
Erro relativo em relação ao experimental = -3{,}95\\ \%

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