Q3: Um sistema linear tem
equações em
variáveis. Considere as afirmativas abaixo:
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
I. Se
, o sistema tem solução única.
II. Se
, a solução, se existe, é única.
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
I. Se
II. Se
Passo 1
O enunciado nos dá um sistema linear com
equações e
variáveis e pede que escolhamos, entre as alternativas dadas, qual afirmação sobre solução é correta. As afirmativas são:
I. Se
, o sistema tem solução única.
II. Se , a solução, se existe, é única.
II. Se
O objetivo: determinar quais das afirmativas I e II são verdadeiras e, com isso, escolher a alternativa correta entre (A) a (D).
Passo 2
Organizando a linguagem (sem resolver ainda): qualquer sistema linear pode ser escrito na forma matricial
onde
é uma matriz
,
é o vetor coluna de
incógnitas e
é o vetor coluna de
termos independentes. Vou explicar alguns conceitos importantes e úteis para decidir sobre unicidade e existência de solução:
- O posto (ou rank) de
, denotado por , é o número máximo de colunas (ou linhas) linearmente independentes de . Vou chamar esse número de , ou seja . - Propriedade básica do posto:
Em palavras: o posto não pode exceder nem o número de equações nem o número de variáveis. - Teorema da Rouché–Capelli (versão prática): o sistema
é consistente (tem pelo menos uma solução) se, e somente se,
onde
é a matriz aumentada. Se o sistema é consistente e
(posto igual ao número de variáveis), então a solução é única. Se o sistema é consistente e
, então há infinitas soluções (porque existe um espaço nulo não trivial de dimensão
).
- Relação útil: dimensão do espaço nulo de
(número de graus de liberdade das soluções) é . Se e o sistema é consistente, há infinitas soluções.
Esses fatos vão nos permitir julgar as afirmações I e II de forma sólida.
Passo 3
Analisando a afirmativa I: “Se [m=n), o sistema tem solução única.”
- Se
, a matriz é quadrada . Nesse caso o posto satisfaz . Existem duas possibilidades: -
. Então é invertível (posto completo) e, para qualquer , o sistema tem exatamente uma solução: . -
. Então é singular; pode acontecer que o sistema seja inconsistente (nenhuma solução) ou consistente com infinitas soluções — em qualquer caso não temos garantia de solução única.
-
- Portanto a afirmativa I, que diz que sempre há solução única quando
, é falsa porque depende do posto de : só é verdade quando tem posto , mas nem toda matriz quadrada tem posto .
Exemplo concreto (contraponto): tome
e o sistema
A segunda equação é múltiplo da primeira, então ambas representam a mesma restrição
, o sistema é consistente mas tem infinitas soluções (todos os pares
). Logo I é falsa.]
Passo 4
Analisando a afirmativa II: “Se
, a solução, se existe, é única.”
- Use a propriedade do posto:
. Como , obtemos . Logo necessariamente . - Se o sistema for consistente (isto é, existir ao menos uma solução), a dimensão do espaço de soluções (graus de liberdade) é
. Mas já vimos que , então . Isso significa que, quando existe solução, ela não pode ser única: existe um espaço de soluções com dimensão positiva, portanto infinitas soluções. - Logo a afirmação II é falsa: com menos equações do que variáveis nunca se tem solução única (quando há solução, ela é necessariamente infinita).
Exemplo concreto:
, equação
Aqui há infinitas soluções
. Não existe unicidade.
Passo 5
Conclusão clara: ambas as afirmativas I e II são falsas. Logo a alternativa correta é a que diz “Todas são falsas”.
(Vamos em frente — já vencemos essa batalha de lógica linear. Você está indo bem — mais uma, e essa matéria vai ficando menos assustadora.)
Resposta
(A)