Q3: Um sistema linear tem m equações em n variáveis. Considere as afirmativas abaixo:
(A) Todas são falsas.
(B) Só I é verdadeira.
(C) Só II é verdadeira.
(D) Todas são verdadeiras.
I. Se m=n, o sistema tem solução única.
II. Se m<n, a solução, se existe, é única.

Passo 1

O enunciado nos dá um sistema linear com m equações e n variáveis e pede que escolhamos, entre as alternativas dadas, qual afirmação sobre solução é correta. As afirmativas são:
I. Se m=n, o sistema tem solução única.
II. Se m<n, a solução, se existe, é única.
O objetivo: determinar quais das afirmativas I e II são verdadeiras e, com isso, escolher a alternativa correta entre (A) a (D).

Passo 2

Organizando a linguagem (sem resolver ainda): qualquer sistema linear pode ser escrito na forma matricial
A x = b,
onde A é uma matriz m\times n, x é o vetor coluna de n incógnitas e b é o vetor coluna de m termos independentes. Vou explicar alguns conceitos importantes e úteis para decidir sobre unicidade e existência de solução:
  • O posto (ou rank) de A, denotado por \operatorname{rank}(A), é o número máximo de colunas (ou linhas) linearmente independentes de A. Vou chamar esse número de r, ou seja \,r=\operatorname{rank}(A)\,.
  • Propriedade básica do posto: \displaystyle r\le \min(m,n). Em palavras: o posto não pode exceder nem o número de equações nem o número de variáveis.
  • Teorema da Rouché–Capelli (versão prática): o sistema A x=b é consistente (tem pelo menos uma solução) se, e somente se,
\operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid b]),
onde [A\mid b] é a matriz aumentada. Se o sistema é consistente e \operatorname{rank}(A)=n (posto igual ao número de variáveis), então a solução é única. Se o sistema é consistente e \operatorname{rank}(A)<n, então há infinitas soluções (porque existe um espaço nulo não trivial de dimensão n-r).
  • Relação útil: dimensão do espaço nulo de A (número de graus de liberdade das soluções) é n-r. Se n-r>0 e o sistema é consistente, há infinitas soluções.
Esses fatos vão nos permitir julgar as afirmações I e II de forma sólida.

Passo 3

Analisando a afirmativa I: “Se [m=n), o sistema tem solução única.”
  • Se m=n, a matriz A é quadrada n\times n. Nesse caso o posto r satisfaz r\le n. Existem duas possibilidades:
    1. r=n. Então A é invertível (posto completo) e, para qualquer b, o sistema A x=b tem exatamente uma solução: x=A^{-1}b.
    2. r<n. Então A é singular; pode acontecer que o sistema seja inconsistente (nenhuma solução) ou consistente com infinitas soluções — em qualquer caso não temos garantia de solução única.
  • Portanto a afirmativa I, que diz que sempre há solução única quando m=n, é falsa porque depende do posto de A: só é verdade quando A tem posto n, mas nem toda matriz quadrada tem posto n.
Exemplo concreto (contraponto): tome m=n=2 e o sistema
\begin{cases} x+y=1,\\[4pt] 2x+2y=2. \end{cases}
A segunda equação é múltiplo da primeira, então ambas representam a mesma restrição y=1-x\]. Aqui \(\operatorname{rank}(A)=1<2, o sistema é consistente mas tem infinitas soluções (todos os pares (x,1-x)). Logo I é falsa.]

Passo 4

Analisando a afirmativa II: “Se m<n, a solução, se existe, é única.”
  • Use a propriedade do posto: \operatorname{rank}(A)\le \min(m,n)=m. Como m<n, obtemos \operatorname{rank}(A)\le m < n. Logo necessariamente \operatorname{rank}(A)<n.
  • Se o sistema for consistente (isto é, existir ao menos uma solução), a dimensão do espaço de soluções (graus de liberdade) é n-\operatorname{rank}(A). Mas já vimos que \operatorname{rank}(A)<n, então n-\operatorname{rank}(A)>0. Isso significa que, quando existe solução, ela não pode ser única: existe um espaço de soluções com dimensão positiva, portanto infinitas soluções.
  • Logo a afirmação II é falsa: com menos equações do que variáveis nunca se tem solução única (quando há solução, ela é necessariamente infinita).
Exemplo concreto: m=1, n=2, equação
x+y=1.
Aqui há infinitas soluções (x,1-x). Não existe unicidade.

Passo 5

Conclusão clara: ambas as afirmativas I e II são falsas. Logo a alternativa correta é a que diz “Todas são falsas”.
(Vamos em frente — já vencemos essa batalha de lógica linear. Você está indo bem — mais uma, e essa matéria vai ficando menos assustadora.)

Resposta

(A)

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