Calcule, diretamente da definição, os limites indicados abaixo:
© lim z i 7z^2+1

Passo 1

Resumo do enunciado: Precisamos calcular limzto i7z^2+1. O conteúdo é limite em variável complexa e vamos usar a definição de limite para infinito: para todo M>0 existe de0 tal que, se 0<|z-i|, então l|f(z)r|>M.

Passo 2

Fatoração e estimativa: Note que z^2+1=(z-i)(z+i) e em z=i esse produto vale zero. Para controlar |z^2+1|, suponha |z-i|<1. Então
|z+i|=| (z-i)+2i|<=|z-i|+|2i|<1+2=3,
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|z^2+1|=|z-i|,|z+i|<3|z-i|

Passo 3

Isso implica
l|7z^2+1r|=7|z^2+1|>73|z-i|

Passo 4

Aplicação da definição: Para dado M>0, basta escolher de. Então, se 0<|z-i| temos |z-i|<1 e
l|tfrac7z^2+1r|>73|z-i|>73,(7/(3M))=M

Passo 5

Assim, por definição, limzto itfrac7z^2+1=infty.

Resposta

infty

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