Resumo do enunciado: Precisamos calcular . O conteúdo é limite em variável complexa e vamos usar a definição de limite para infinito: para todo existe tal que, se , então .
Passo 2
Fatoração e estimativa: Note que z^2+1=(z-i)(z+i) e em z=i esse produto vale zero. Para controlar |z^2+1|, suponha |z-i|<1. Então
|z+i|=| (z-i)+2i|<=|z-i|+|2i|<1+2=3,
logo |z^2+1|=|z-i|,|z+i|<3|z-i|
Passo 3
Isso implica
l|7z^2+1r|=7|z^2+1|>73|z-i|
Passo 4
Aplicação da definição: Para dado M>0, basta escolher de. Então, se 0<|z-i| temos |z-i|<1 e