Calcule a integral
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\begin{aligned}
\int_{1}{4}\left(x{2}-2 x\right) d x & \int_{0}^{1} \frac{d x}{(1+\sqrt{x})^{4}} \\
\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2}\left(x+x^{2} \operatorname{sen} x+x^{2}\right) d x & \int_{e}{e{4}} \frac{d x}{x \sqrt{\ln x}} \\
\int_{1}^{2} \frac{e^{1 / x}}{x^{2}} d x & \int_{0}^{a} x \sqrt{a{2}-x{2}} d x \\
\int_{0}^{a} x \sqrt{x{2}+a{2}} d x(a>0) & \int_{0}^{1 / 2} \frac{\operatorname{sen}^{-1} x}{\sqrt{1-x^{2}}} d x
\end{aligned}
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Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos lidando com cálculo de integrais definidas, usando conhecimento de antiderivadas. Para resolver isso, vamos encontrar as antiderivadas de cada termo dentro da integral e depois aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a antiderivada de . A regra básica para integrar potências de é aumentar o expoente em 1 e dividir pelo novo expoente. Então:
Passo 3
Agora, vamos integrar . A constante pode ser mantida fora da integral, então temos:
Passo 4
Juntando as antiderivadas encontradas:
Passo 5
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de 4 e 1.
Para x = 4:
4^33 - 4^2 = 643 - 16 = 64 - 483 = 163
Para x = 1:
1^33 - 1^2 = 13 - 1 = -23
Passo 6
Agora, subtraímos o valor em x = 1 do valor em x = 4: