Calcule a integral
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\begin{aligned}
\int_{1}{4}\left(x{2}-2 x\right) d x & \int_{0}^{1} \frac{d x}{(1+\sqrt{x})^{4}} \\
\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2}\left(x+x^{2} \operatorname{sen} x+x^{2}\right) d x & \int_{e}{e{4}} \frac{d x}{x \sqrt{\ln x}} \\
\int_{1}^{2} \frac{e^{1 / x}}{x^{2}} d x & \int_{0}^{a} x \sqrt{a{2}-x{2}} d x \\
\int_{0}^{a} x \sqrt{x{2}+a{2}} d x(a>0) & \int_{0}^{1 / 2} \frac{\operatorname{sen}^{-1} x}{\sqrt{1-x^{2}}} d x
\end{aligned}
$

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral1^4 (x^2 - 2x) dx. Aqui estamos lidando com cálculo de integrais definidas, usando conhecimento de antiderivadas. Para resolver isso, vamos encontrar as antiderivadas de cada termo dentro da integral e depois aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a antiderivada de x^2. A regra básica para integrar potências de x é aumentar o expoente em 1 e dividir pelo novo expoente. Então:
integral x^2 dx = x^33

Passo 3

Agora, vamos integrar -2x. A constante -2 pode ser mantida fora da integral, então temos:
-2 integral x dx = -2 ( x^22 ) = -x^2

Passo 4

Juntando as antiderivadas encontradas:
integral1^4 (x^2 - 2x) dx = ( x^33 - x^2 ) gr|1^4

Passo 5

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de 4 e 1.
Para x = 4:
4^33 - 4^2 = 643 - 16 = 64 - 483 = 163
Para x = 1:
1^33 - 1^2 = 13 - 1 = -23

Passo 6

Agora, subtraímos o valor em x = 1 do valor em x = 4:
163 - ( -23 ) = 163 + 23 = 183 = 6

Resposta

O valor da integral é 6.

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