Calcule a integral indefinida geral
$
\begin{aligned}
\int \frac{d x}{a x+b}(a \neq 0) & \int \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}} \operatorname{sen}^{-1} x} \\
\int x^{2} \sqrt{x^{3}+1} d x & \int \operatorname{sen} x \cos x d x \\
\int \frac{x}{1+x^{4}} d x & \int \frac{(\ln x)^{2}}{x} d x \\
\int \operatorname{tg} \theta \sec ^{2} \theta d \theta & \int \operatorname{sen} \pi x d x
\end{aligned}
$
$
\begin{aligned}
\int \frac{d x}{a x+b}(a \neq 0) & \int \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}} \operatorname{sen}^{-1} x} \\
\int x^{2} \sqrt{x^{3}+1} d x & \int \operatorname{sen} x \cos x d x \\
\int \frac{x}{1+x^{4}} d x & \int \frac{(\ln x)^{2}}{x} d x \\
\int \operatorname{tg} \theta \sec ^{2} \theta d \theta & \int \operatorname{sen} \pi x d x
\end{aligned}
$
Passo 1
Neste exercício, precisamos calcular a integral indefinida
, onde
. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a técnica de substituição, para resolver essa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a parte da expressão que pode ser substituída para simplificar a integral. Observamos que o denominador
é uma função linear de
. Quando temos uma integral na forma
, onde
é uma função de
, a substituição
é uma boa aposta.
Passo 3
Vamos fazer a substituição:
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
para substituir
:
Passo 4
Substituímos
e
na integral original:
Aqui, simplificamos retirando
que é uma constante fora da integral.
Passo 5
Agora, a integral
é uma integral básica cujo resultado é
. Portanto:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Por fim, voltamos à variável original
substituindo
:
Resposta
A integral
é igual a
.