Calcule a integral indefinida geral
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\begin{aligned}
\int \frac{d x}{a x+b}(a \neq 0) & \int \frac{d x}{\sqrt{1-x^{2}} \operatorname{sen}^{-1} x} \\
\int x^{2} \sqrt{x^{3}+1} d x & \int \operatorname{sen} x \cos x d x \\
\int \frac{x}{1+x^{4}} d x & \int \frac{(\ln x)^{2}}{x} d x \\
\int \operatorname{tg} \theta \sec ^{2} \theta d \theta & \int \operatorname{sen} \pi x d x
\end{aligned}
$

Passo 1

Neste exercício, precisamos calcular a integral indefinida integral dxa x + b, onde a neq 0. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente a técnica de substituição, para resolver essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a parte da expressão que pode ser substituída para simplificar a integral. Observamos que o denominador a x + b é uma função linear de x. Quando temos uma integral na forma integral dxu, onde u é uma função de x, a substituição u = a x + b é uma boa aposta.

Passo 3

Vamos fazer a substituição:
u = a x + b
Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a x para substituir dx:
dudx = a Rightarrow dx = dua

Passo 4

Substituímos u e dx na integral original:
integral dxa x + b = integral duau = 1a integral duu
Aqui, simplificamos retirando 1a que é uma constante fora da integral.

Passo 5

Agora, a integral integral duu é uma integral básica cujo resultado é ln|u|. Portanto:
1a integral duu = 1a ln|u| + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, voltamos à variável original x substituindo u = a x + b:
1a ln|a x + b| + C

Resposta

A integral integral dxa x + b é igual a 1a ln|a x + b| + C.

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