Sabendo-se que o problema de valor inicial que descreve um sistema massa-mola é dado por
2 u^prime prime+3 u=0, u(0)=1, u^prime(0)=0
Esboce o gráfico da solução obtida.

Passo 1

O enunciado apresenta o problema de valor inicial
2u’’+3u=0 com u(0)=1 e u’(0)=0, que corresponde a um sistema massa-mola sem amortecimento. Vamos usar teoria de EDOs lineares homogêneas de 2ª ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Para resolver, fazemos a substituição típica u(t)=e^{r t}. Daí obtém-se a equação característica:
2r^2+3=0
cuja solução é r=±i\sqrt{3/2}, indicando oscilação harmônica pura.

Passo 3

Como as raízes são r=±iω com ω=\sqrt{3/2}, a solução geral é
u(t)=Acos(ωt)+Bsin(ωt)
Usando u(0)=1 ⇒ A=1 e u’(0)=0 ⇒ B=0.

Passo 4

Logo a resposta é uma oscilação harmônica simples de amplitude 1 e frequência angular ω=\sqrt{3/2}. O período vale
T=2piω=2piraiztfrac23
O esboço é um cosseno unitário que começa em u(0)=1, cruza zero em t=T/4, chega a –1 em t=T/2 e completa cada ciclo a cada T.

Resposta

A solução é u(t)=\cos\bigl(\sqrt{3/2},t\bigr). O gráfico é um cosseno de amplitude 1 e período T=2π√(2/3), começando em u(0)=1, passando por zero em t=T/4, por –1 em t=T/2 e repetindo esse ciclo indefinidamente.

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